Номер 13.1, страница 78 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

13.1. Изобразите какой-нибудь прямоугольный треугольник, катетом которого является отрезок $\text{AC}$, а вершина $\text{B}$ находится в одном из узлов сетки (рис. 13.6).

Рис. 13.6

Для того чтобы построить прямоугольный треугольник, в котором отрезок $AC$ является катетом, необходимо, чтобы второй катет был перпендикулярен отрезку $AC$. Это означает, что прямой угол ($90^\circ$) треугольника должен находиться либо в вершине $A$, либо в вершине $C$.

Условие перпендикулярности двух отрезков на клетчатой бумаге можно легко проверить. Если один отрезок соединяет узлы сетки со смещением $(\Delta x_1, \Delta y_1)$ (т.е. на $\Delta x_1$ клеток по горизонтали и $\Delta y_1$ клеток по вертикали), то перпендикулярный ему отрезок будет иметь смещение $(\Delta x_2, \Delta y_2)$, где $\Delta x_2 = -\Delta y_1$ и $\Delta y_2 = \Delta x_1$, или $\Delta x_2 = \Delta y_1$ и $\Delta y_2 = -\Delta x_1$. Проще говоря, если один отрезок идет на $a$ клеток вправо и $b$ клеток вверх, то перпендикулярный ему будет идти на $b$ клеток влево и $a$ клеток вверх, либо на $b$ клеток вправо и $a$ клеток вниз.

а) 1. Проанализируем положение отрезка $AC$ на рисунке а). Чтобы переместиться из точки $A$ в точку $C$, нужно сдвинуться на 1 клетку вправо и на 3 клетки вниз. Это можно представить как вектор смещения $\vec{v}_{AC} = (1, -3)$.

2. Чтобы построить второй катет, перпендикулярный $AC$, нам нужен вектор смещения, перпендикулярный вектору $(1, -3)$. Такими векторами будут $(3, 1)$ и $(-3, -1)$. То есть, смещение на 3 клетки вправо и 1 клетку вверх, или на 3 клетки влево и 1 клетку вниз.

3. Выберем один из возможных вариантов. Пусть прямой угол будет в вершине $A$. Тогда нам нужно из точки $A$ отложить отрезок $AB$, перпендикулярный $AC$. Для этого от точки $A$ сместимся на 3 клетки влево и 1 клетку вниз. В полученной точке, являющейся узлом сетки, разместим вершину $B$.

4. В результате мы получим прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $A$ ($\angle CAB = 90^\circ$). Катетами треугольника являются $AC$ и $AB$, а гипотенузой — $BC$.

Ответ: Один из возможных вариантов — расположить вершину $B$ так, чтобы она была получена смещением из точки $A$ на 3 клетки влево и 1 клетку вниз.

б) 1. Проанализируем положение отрезка $AC$ на рисунке б). Чтобы переместиться из точки $A$ в точку $C$, нужно сдвинуться на 1 клетку вправо и на 2 клетки вниз. Вектор смещения $\vec{v}_{AC} = (1, -2)$.

2. Векторы, перпендикулярные вектору $(1, -2)$, будут $(2, 1)$ и $(-2, -1)$. Это соответствует смещениям на 2 клетки вправо и 1 клетку вверх, или на 2 клетки влево и 1 клетку вниз.

3. Выберем один из вариантов. Пусть на этот раз прямой угол будет в вершине $C$. Тогда второй катет $CB$ должен быть перпендикулярен катету $AC$. Для построения точки $B$ отложим от точки $C$ один из перпендикулярных векторов. Например, сместимся от точки $C$ на 2 клетки вправо и 1 клетку вверх. В этой точке-узле сетки и будет находиться вершина $B$.

4. В итоге мы получим прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$ ($\angle ACB = 90^\circ$). Катетами будут $AC$ и $CB$, а гипотенузой — $AB$.

Ответ: Один из возможных вариантов — расположить вершину $B$ так, чтобы она была получена смещением из точки $C$ на 2 клетки вправо и 1 клетку вверх.