Задания, страница 76 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

Признак 1. Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны (рис. 13.2).

Рис. 13.2

Признак 2. Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны (рис. 13.3).

Рис. 13.3

Приведите доказательство этих признаков самостоятельно.

Признак 1

Пусть даны два прямоугольных треугольника $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$, у которых $\angle C = 90^\circ$ и $\angle C_1 = 90^\circ$. По условию, катеты этих треугольников соответственно равны: $AC = A_1C_1$ и $BC = B_1C_1$. Так как углы $C$ и $C_1$ прямые, они равны между собой: $\angle C = \angle C_1$. Таким образом, для треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ имеем: две стороны и угол между ними одного треугольника ($AC$, $BC$, $\angle C$) соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника ($A_1C_1$, $B_1C_1$, $\angle C_1$). Следовательно, по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.

Ответ: равенство треугольников по двум катетам доказано на основе первого признака равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Признак 2

Пусть даны два прямоугольных треугольника $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$, у которых $\angle C = 90^\circ$ и $\angle C_1 = 90^\circ$. По условию, катет и прилежащий к нему острый угол одного треугольника равны катету и прилежащему к нему острому углу другого. Для определенности, пусть катет $AC$ равен катету $A_1C_1$ ($AC = A_1C_1$), а прилежащий к нему острый угол $\angle A$ равен углу $\angle A_1$ ($\angle A = \angle A_1$). Так как углы $C$ и $C_1$ прямые, они равны между собой: $\angle C = \angle C_1$. Таким образом, для треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ имеем: сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника ($AC$, $\angle A$, $\angle C$) соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника ($A_1C_1$, $\angle A_1$, $\angle C_1$). Следовательно, по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам), $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.

Ответ: равенство треугольников по катету и прилежащему острому углу доказано на основе второго признака равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам).