Номер 12.18, страница 74 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

12.18. Вершины треугольника $ABC$ соединены отрезками с точкой $\text{D}$, лежащей внутри этого треугольника, $CD = BD$, $\angle ACD$ меньше $\angle ABD$ (рис. 12.13). Докажите, что $AC > AB$.

Рис. 12.13

Рассмотрим треугольник $DBC$. По условию $CD = BD$, следовательно, треугольник $DBC$ является равнобедренным с основанием $BC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому $\angle DCB = \angle DBC$.

Углы $ACB$ и $ABC$ треугольника $ABC$ можно представить как суммы углов:

$\angle ACB = \angle ACD + \angle DCB$

$\angle ABC = \angle ABD + \angle DBC$

По условию задачи нам дано неравенство $\angle ACD < \angle ABD$.

Прибавим к обеим частям этого неравенства равные углы. К левой части прибавим $\angle DCB$, а к правой — равный ему угол $\angle DBC$. Так как мы прибавляем равные величины, знак неравенства не изменится:

$\angle ACD + \angle DCB < \angle ABD + \angle DBC$

Заменив суммы углов их обозначениями, получаем:

$\angle ACB < \angle ABC$

Теперь рассмотрим треугольник $ABC$. В любом треугольнике против большего угла лежит большая сторона. Поскольку в треугольнике $ABC$ угол $\angle ABC$ больше угла $\angle ACB$, то сторона $AC$, лежащая напротив угла $\angle ABC$, больше стороны $AB$, лежащей напротив угла $\angle ACB$.

Следовательно, $AC > AB$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.