Номер 12.16, страница 74 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

12.16. На рисунке 12.11 угол 1 больше угла 2. Докажите, что $AB > BC.$

Рис. 12.11

Рассмотрим треугольник $ABC$. Углы, обозначенные на рисунке как 1 и 2, являются внешними углами треугольника при вершинах A и C соответственно.

Внешний угол треугольника и смежный с ним внутренний угол в сумме дают $180^\circ$.

Для вершины A: Угол 1 и внутренний угол $BAC$ являются смежными. Следовательно, $ \angle 1 + \angle BAC = 180^\circ $, откуда $ \angle BAC = 180^\circ - \angle 1 $.

Для вершины C: Угол 2 и внутренний угол $BCA$ являются смежными. Следовательно, $ \angle 2 + \angle BCA = 180^\circ $, откуда $ \angle BCA = 180^\circ - \angle 2 $.

По условию задачи нам дано, что $ \angle 1 > \angle 2 $.

Рассмотрим это неравенство. Если мы умножим обе части на -1, знак неравенства изменится на противоположный: $ -\angle 1 < -\angle 2 $

Теперь прибавим $180^\circ$ к обеим частям неравенства. Знак неравенства при этом не изменится: $ 180^\circ - \angle 1 < 180^\circ - \angle 2 $

Заменяя левую и правую части на соответствующие им внутренние углы треугольника, получаем: $ \angle BAC < \angle BCA $

В треугольнике против большего угла лежит большая сторона. В нашем треугольнике $ABC$ сторона $AB$ лежит против угла $BCA$, а сторона $BC$ лежит против угла $BAC$.

Поскольку $ \angle BCA > \angle BAC $, то и соответствующая ему сторона $AB$ будет больше стороны $BC$.

Следовательно, $ AB > BC $, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказательство основано на свойстве смежных углов и теореме о соотношении между сторонами и углами треугольника. Из условия $ \angle 1 > \angle 2 $ следует, что смежный с ним внутренний угол $ \angle BAC $ меньше, чем смежный с $ \angle 2 $ внутренний угол $ \angle BCA $. Так как в треугольнике против большего угла лежит большая сторона, то из неравенства $ \angle BCA > \angle BAC $ следует, что $ AB > BC $.