Номер 12.14, страница 74 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

12.14. Отрезки $\text{AE}$ и $\text{BD}$ пересекаются в точке $\text{C}$, $AB > BC$, $CD = DE$ (рис. 12.9). Докажите, что $\angle BAC$ меньше $\angle DEC$.

Рис. 12.9

Рассмотрим треугольник $ABC$. По условию задачи дано, что сторона $AB$ больше стороны $BC$ ($AB > BC$). В любом треугольнике против большей стороны лежит больший угол. Следовательно, угол $\angle BCA$, лежащий напротив стороны $AB$, больше угла $\angle BAC$, лежащего напротив стороны $BC$. Таким образом, мы имеем неравенство: $\angle BCA > \angle BAC$.

Теперь рассмотрим треугольник $CDE$. По условию, стороны $CD$ и $DE$ равны ($CD = DE$). Это означает, что треугольник $CDE$ является равнобедренным с основанием $CE$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. В данном случае, это углы $\angle DCE$ и $\angle DEC$. Следовательно, $\angle DCE = \angle DEC$.

Отрезки $AE$ и $BD$ пересекаются в точке $C$. Углы $\angle BCA$ и $\angle DCE$ являются вертикальными углами, образованными при пересечении этих отрезков. По свойству вертикальных углов, они равны: $\angle BCA = \angle DCE$.

Объединим все полученные факты.

Из первого шага мы знаем, что $\angle BCA > \angle BAC$.

Из третьего шага мы знаем, что $\angle BCA = \angle DCE$.

Подставив второе равенство в первое неравенство, получаем: $\angle DCE > \angle BAC$.

Из второго шага мы знаем, что $\angle DCE = \angle DEC$.

Подставив это равенство в полученное неравенство, мы приходим к выводу: $\angle DEC > \angle BAC$.

Это неравенство эквивалентно тому, что $\angle BAC < \angle DEC$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.