Номер 12.8, страница 73 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

12.8. На рисунке 12.5 $DE < DF$. Каким соотношением связаны углы $\text{1}$ и $\text{2}$?

Рис. 12.5

Рассмотрим треугольник $DEF$. Согласно теореме о соотношениях между сторонами и углами треугольника, против большей стороны лежит больший угол, а против меньшей стороны — меньший.

По условию задачи, длина стороны $DE$ меньше длины стороны $DF$, что записывается как $DE < DF$.

В треугольнике $DEF$ угол, противолежащий стороне $DE$, — это угол $∠DFE$. Угол, противолежащий стороне $DF$, — это угол $∠DEF$.

Поскольку $DE < DF$, то и противолежащие им углы находятся в таком же соотношении: $∠DFE < ∠DEF$.

Угол 1 и угол $∠DEF$ являются смежными углами, так как они вместе образуют развернутый угол на прямой. Сумма смежных углов равна $180°$. Отсюда можно выразить угол 1: $∠1 = 180° - ∠DEF$.

Аналогично, угол 2 и угол $∠DFE$ также являются смежными углами. Их сумма также равна $180°$. Отсюда можно выразить угол 2: $∠2 = 180° - ∠DFE$.

Мы установили, что $∠DFE < ∠DEF$. Сравним выражения для $∠1$ и $∠2$. Если из $180°$ вычитать разные величины, то результат будет больше там, где вычитаемое меньше.

Поскольку $∠DFE$ меньше чем $∠DEF$, то при вычитании этих углов из $180°$ получится обратное неравенство: $180° - ∠DFE > 180° - ∠DEF$.

Подставив в это неравенство выражения для $∠1$ и $∠2$, получаем: $∠2 > ∠1$.

Ответ: $∠1 < ∠2$.