Номер 12.4, страница 72 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

12.4. Может ли в треугольнике быть два:

а) острых;

б) тупых;

в) прямых внешних угла?

а) острых

Да, может. Острый угол — это угол, градусная мера которого меньше $90^\circ$. Сумма внутренних углов любого треугольника равна $180^\circ$. В качестве примера можно взять равносторонний треугольник, у которого все три угла равны $60^\circ$. Так как $60^\circ < 90^\circ$, все его углы являются острыми, а значит, в нем есть два (и даже три) острых угла. Более того, можно доказать, что в любом треугольнике всегда есть по крайней мере два острых угла. Допустим обратное: в треугольнике не более одного острого угла. Это значит, что как минимум два угла являются прямыми ($90^\circ$) или тупыми ($>90^\circ$). Сумма этих двух углов будет не меньше $90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$. Но это равно или больше всей суммы углов треугольника, что невозможно, так как третий угол должен быть положительным.

Ответ: да.

б) тупых

Нет, не может. Тупой угол — это угол, градусная мера которого больше $90^\circ$. Предположим, что в треугольнике есть два тупых угла, назовем их $\alpha$ и $\beta$. По определению тупого угла, $\alpha > 90^\circ$ и $\beta > 90^\circ$. Тогда сумма этих двух углов будет $\alpha + \beta > 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$. Однако, по теореме о сумме углов треугольника, сумма всех трех его углов ($\alpha$, $\beta$ и $\gamma$) строго равна $180^\circ$. Мы получили противоречие: сумма только двух углов уже превышает $180^\circ$. Следовательно, в треугольнике не может быть двух тупых углов.

Ответ: нет.

в) прямых внешних угла?

Нет, не может. Внешний угол треугольника при данной вершине — это угол, смежный с внутренним углом треугольника при этой вершине. Сумма смежных углов равна $180^\circ$. Если внешний угол является прямым ($90^\circ$), то и соответствующий ему внутренний угол также будет прямым, так как $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Если предположить, что у треугольника есть два прямых внешних угла, это будет означать, что у него есть и два прямых внутренних угла. Сумма этих двух внутренних углов составит $90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$. В таком случае на долю третьего внутреннего угла останется $180^\circ - 180^\circ = 0^\circ$. Угол в $0^\circ$ не может существовать в треугольнике, поэтому такое предположение неверно.

Ответ: нет.