Вопросы, страница 72 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

1. Какой угол называется внешним углом треугольника?

2. Сколько внешних углов имеется при каждой вершине треугольника?

3. Какое неравенство имеет место для внешнего угла треугольника?

4. Какой угол лежит против большей стороны треугольника?

5. Какая сторона лежит против большего угла треугольника?

1. Внешним углом треугольника называется угол, который является смежным с одним из внутренних углов треугольника. Он образуется при продлении одной из сторон треугольника за пределы его вершины. Например, если в треугольнике $ABC$ продлить сторону $AC$ за вершину $C$ до точки $D$, то угол $BCD$ будет внешним углом треугольника при вершине $C$.

Ответ: Угол, смежный с внутренним углом треугольника.

2. При каждой вершине треугольника имеется два внешних угла. Они образуются при продлении каждой из двух сторон, образующих данную вершину. Эти два внешних угла равны между собой, так как они являются вертикальными. Таким образом, хотя при каждой вершине можно образовать два внешних угла, они имеют одинаковую градусную меру.

Ответ: Два.

3. Внешний угол треугольника больше любого внутреннего угла, не смежного с ним. Это следует из теоремы о внешнем угле, которая гласит, что внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Если $\angle \alpha_{ext}$ — внешний угол, а $\angle \beta$ и $\angle \gamma$ — два внутренних угла, не смежные с ним, то $\angle \alpha_{ext} = \angle \beta + \angle \gamma$. Так как углы в треугольнике положительны, отсюда следуют неравенства: $\angle \alpha_{ext} > \angle \beta$ и $\angle \alpha_{ext} > \angle \gamma$.

Ответ: Внешний угол треугольника больше любого внутреннего угла, не смежного с ним.

4. В любом треугольнике против большей стороны лежит больший угол. Это фундаментальное свойство треугольников, которое устанавливает связь между длинами сторон и величинами противолежащих им углов. Если в треугольнике $ABC$ сторона $a$ больше стороны $b$ ($a > b$), то угол $\angle A$, лежащий против стороны $a$, будет больше угла $\angle B$, лежащего против стороны $b$ ($\angle A > \angle B$).

Ответ: Больший угол.

5. В любом треугольнике против большего угла лежит большая сторона. Это утверждение, обратное предыдущему, и оно также является верным. Если в треугольнике $ABC$ угол $\angle A$ больше угла $\angle B$ ($\angle A > \angle B$), то сторона $a$, лежащая против угла $\angle A$, будет длиннее стороны $b$, лежащей против угла $\angle B$ ($a > b$).

Ответ: Большая сторона.