Номер 12.2, страница 72 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

12.2. Может ли внешний угол треугольника быть:

а) равен одному из его внутренних углов;

б) меньше одного из его внутренних углов?

а) Да, может. По свойству внешнего угла треугольника, он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Обозначим внутренние углы треугольника как $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$. Внешний угол при вершине с углом $\gamma$ (обозначим его $\gamma_{ext}$) будет равен $\gamma_{ext} = \alpha + \beta$.

Рассмотрим два случая:

1. Может ли внешний угол быть равен одному из не смежных с ним внутренних углов? Например, может ли $\gamma_{ext} = \alpha$? Если да, то $\alpha + \beta = \alpha$, что означает $\beta = 0$. Угол в треугольнике не может быть равен нулю, поэтому это невозможно.
2. Может ли внешний угол быть равен смежному с ним внутреннему углу? То есть, может ли $\gamma_{ext} = \gamma$? Внешний и смежный с ним внутренний угол в сумме дают $180^\circ$, то есть $\gamma_{ext} + \gamma = 180^\circ$. Если $\gamma_{ext} = \gamma$, то $2\gamma = 180^\circ$, откуда $\gamma = 90^\circ$. Такой треугольник существует — это прямоугольный треугольник. Внешний угол при его прямом угле также равен $90^\circ$.

Следовательно, внешний угол треугольника может быть равен одному из его внутренних углов (а именно, смежному с ним), если этот угол прямой.

Ответ: да, может.

б) Да, может. Снова воспользуемся свойством внешнего угла: $\gamma_{ext} = \alpha + \beta$. Поскольку углы $\alpha$ и $\beta$ в треугольнике всегда положительны ($\alpha > 0$ и $\beta > 0$), то внешний угол всегда строго больше каждого из двух внутренних углов, не смежных с ним ($\gamma_{ext} > \alpha$ и $\gamma_{ext} > \beta$).

Однако внешний угол может быть меньше смежного с ним внутреннего угла. Рассмотрим пару смежных углов $\gamma_{ext}$ и $\gamma$. Их сумма равна $180^\circ$. Неравенство $\gamma_{ext} < \gamma$ будет выполняться, если $\gamma$ — тупой угол (то есть $\gamma > 90^\circ$). В этом случае $\gamma_{ext} = 180^\circ - \gamma$ будет острым углом (меньше $90^\circ$), и очевидно, что $\gamma_{ext} < \gamma$. Например, если внутренний угол $\gamma = 110^\circ$, то смежный с ним внешний угол $\gamma_{ext} = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$. В этом случае $70^\circ < 110^\circ$.

Ответ: да, может.