Номер 11.28, страница 70 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

11.28. На рисунке 11.22 угол $\angle ADB$ равен углу $\angle CDB$ и $\text{AC}$ перпендикулярна $\text{BD}$. Докажите, что $AD = CD$.

Рис. 11.22

Для доказательства равенства отрезков $AD$ и $CD$ рассмотрим треугольники $\triangle AOD$ и $\triangle COD$, образованные пересечением отрезков $AC$ и $BD$ в точке $O$.

1. Сторона $OD$ является общей для треугольников $\triangle AOD$ и $\triangle COD$.

2. По условию задачи отрезок $AC$ перпендикулярен отрезку $BD$ ($AC \perp BD$). Это означает, что углы, образованные их пересечением, являются прямыми. Следовательно, $\angle AOD = \angle COD = 90^\circ$.

3. По условию задачи угол $ADB$ равен углу $CDB$ ($\angle ADB = \angle CDB$). Поскольку точка $O$ лежит на отрезке $BD$, то луч $DO$ является общей стороной для этих углов, а значит $\angle ADO = \angle CDO$.

Таким образом, в треугольниках $\triangle AOD$ и $\triangle COD$ сторона $OD$ является общей, а прилежащие к ней углы соответственно равны: $\angle ADO = \angle CDO$ и $\angle AOD = \angle COD$.

Следовательно, треугольник $\triangle AOD$ равен треугольнику $\triangle COD$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. Сторона $AD$ лежит напротив угла $AOD$ в $\triangle AOD$, а сторона $CD$ лежит напротив угла $COD$ в $\triangle COD$. Так как $\angle AOD = \angle COD$, то соответствующие им стороны $AD$ и $CD$ равны. Итак, $AD = CD$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $AD = CD$ доказано, так как треугольники $\triangle AOD$ и $\triangle COD$ равны по стороне и двум прилежащим к ней углам.