Номер 11.21, страница 69 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

11.21. На рисунке 11.20 $AO = BO$ и $CO = DO$. Докажите, что углы $\angle DAC$ и $\angle CBD$ равны.

Рис. 11.20

Рассмотрим треугольники $\triangle AOD$ и $\triangle BOC$.

Согласно условию задачи, стороны $AO$ и $BO$ равны ($AO = BO$), а также стороны $CO$ и $DO$ равны ($CO = DO$).

Углы $\angle AOD$ и $\angle BOC$ являются вертикальными, так как они образованы при пересечении отрезков $AC$ и $BD$. По свойству вертикальных углов, они равны: $\angle AOD = \angle BOC$.

Таким образом, у нас есть три условия для сравнения треугольников $\triangle AOD$ и $\triangle BOC$:

1. $AO = BO$ (по условию);

2. $DO = CO$ (по условию);

3. $\angle AOD = \angle BOC$ (как вертикальные углы).

Следовательно, треугольник $\triangle AOD$ равен треугольнику $\triangle BOC$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников ($\triangle AOD \cong \triangle BOC$) следует равенство их соответственных углов. Угол $\angle OAD$ в треугольнике $\triangle AOD$ соответствует углу $\angle OBC$ в треугольнике $\triangle BOC$.

Поскольку луч $AD$ является частью луча $AC$, а луч $BC$ - частью луча $BD$, то угол $\angle OAD$ - это тот же угол, что и $\angle DAC$, а угол $\angle OBC$ - тот же угол, что и $\angle CBD$.

Отсюда следует, что $\angle DAC = \angle CBD$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство углов $\angle DAC$ и $\angle CBD$ доказано на основании равенства треугольников $\triangle AOD$ и $\triangle BOC$ по первому признаку.