Номер 11.23, страница 69 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

11.23. На рисунке 11.21 $AB = CB$ и $AD = CD$. Докажите, что углы $\angle BAD$ и $\angle BCD$ равны.

Рис. 11.21

Для доказательства равенства углов $\angle BAD$ и $\angle BCD$ рассмотрим два треугольника: $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$.

Сравним эти треугольники:

1. Сторона $AB$ равна стороне $CB$ ($AB = CB$) по условию задачи.

2. Сторона $AD$ равна стороне $CD$ ($AD = CD$) также по условию задачи.

3. Сторона $BD$ является общей для обоих треугольников.

Таким образом, три стороны треугольника $\triangle ABD$ соответственно равны трем сторонам треугольника $\triangle CBD$. Согласно третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$ равны.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов, в том числе и углов. Угол $\angle BAD$ в треугольнике $\triangle ABD$ лежит напротив общей стороны $BD$ в контексте сравнения с $\triangle CBD$ и между сторонами $AB$ и $AD$. Угол $\angle BCD$ в треугольнике $\triangle CBD$ лежит между сторонами $CB$ и $CD$. Так как стороны, образующие эти углы, попарно равны ($AB=CB$ и $AD=CD$), то сами углы являются соответственными и, следовательно, равными.

Значит, $\angle BAD = \angle BCD$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство углов $\angle BAD$ и $\angle BCD$ доказано. Оно следует из равенства треугольников $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), так как $AB = CB$ и $AD = CD$ по условию, а сторона $BD$ является общей.