Номер 11.17, страница 69 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

11.17. На рисунке 11.19 $AB = CD$ и $AD = BC$. Докажите, что углы $\angle BAC$ и $\angle DCA$ равны.

Рис. 11.19

Для доказательства равенства углов $\angle BAC$ и $\angle DCA$ рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$.

Сравним эти два треугольника. По условию задачи нам дано, что сторона $AB$ равна стороне $CD$ ($AB = CD$), и сторона $AD$ равна стороне $BC$ ($AD = BC$).

Сторона $AC$ является общей для треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$.

Таким образом, мы имеем три пары соответственно равных сторон:

1. $AB = CD$ (по условию);

2. $BC = AD$ (по условию);

3. $AC$ — общая сторона.

Следовательно, по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), треугольник $ABC$ равен треугольнику $CDA$. Это записывается как $\triangle ABC \cong \triangle CDA$.

Из равенства треугольников следует, что их соответственные углы равны. В равных треугольниках напротив равных сторон лежат равные углы. Угол $\angle BAC$ в треугольнике $ABC$ лежит напротив стороны $BC$. Угол $\angle DCA$ в треугольнике $CDA$ лежит напротив стороны $AD$.

Поскольку по условию $BC = AD$, то и углы, лежащие напротив этих сторон, должны быть равны.

Значит, $\angle BAC = \angle DCA$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Углы $\angle BAC$ и $\angle DCA$ равны, так как они являются соответственными углами в равных треугольниках $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$.