Номер 11.22, страница 69 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

11.22. На рисунке 11.20 угол $BAC$ равен углу $ABD$ и угол $BAD$ равен углу $ABC$. Докажите, что $AD = BC$.

Рис. 11.20

Для доказательства равенства отрезков $AD$ и $BC$ рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle BAC$.

По условию задачи известно, что $\angle BAC = \angle ABD$ и $\angle BAD = \angle ABC$.

Сравним треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle BAC$:

1. Сторона $AB$ является общей для обоих треугольников.

2. Угол $\angle BAD$ (в $\triangle ABD$) равен углу $\angle ABC$ (в $\triangle BAC$) согласно условию.

3. Угол $\angle ABD$ (в $\triangle ABD$) равен углу $\angle BAC$ (в $\triangle BAC$) согласно условию.

Таким образом, треугольник $\triangle ABD$ равен треугольнику $\triangle BAC$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Так как треугольники равны, то их соответствующие элементы также равны. Сторона $AD$ в треугольнике $\triangle ABD$ лежит напротив угла $\angle ABD$. Сторона $BC$ в треугольнике $\triangle BAC$ лежит напротив угла $\angle BAC$.

Поскольку по условию $\angle ABD = \angle BAC$, то и противолежащие этим углам стороны равны, то есть $AD = BC$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $AD = BC$ доказано.