Номер 11.16, страница 69 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

11.16. Докажите, что если в треугольниках $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$, $AC = A_1C_1$, $BC = B_1C_1$, медиана $\text{CM}$ равна медиане $C_1M_1$ (рис. 11.18), то треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ равны.

Рис. 11.18

Для доказательства равенства треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$ воспользуемся методом дополнительного построения.

Продолжим медиану $CM$ треугольника $ABC$ за точку $M$ на ее длину, отложив отрезок $MD$ такой, что $MD = CM$. Соединим точку $D$ с точками $A$ и $B$. Рассмотрим четырехугольник $ACBD$. Его диагонали $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $M$. Так как $CM$ — медиана, то $M$ — середина $AB$. По построению, $M$ — середина $CD$. Четырехугольник, диагонали которого в точке пересечения делятся пополам, является параллелограммом. Следовательно, $ACBD$ — параллелограмм. По свойству параллелограмма его противолежащие стороны равны и параллельны. Отсюда следует, что $AD = BC$ и $AD \parallel BC$.

Аналогично, в треугольнике $A_1B_1C_1$ продолжим медиану $C_1M_1$ до точки $D_1$ так, что $M_1D_1 = C_1M_1$. Четырехугольник $A_1C_1B_1D_1$ также является параллелограммом. Следовательно, $A_1D_1 = B_1C_1$ и $A_1D_1 \parallel B_1C_1$.

Теперь рассмотрим треугольники $\triangle ACD$ и $\triangle A_1C_1D_1$. Сравним их стороны:

1. $AC = A_1C_1$ по условию задачи.

2. $CD = CM + MD = 2CM$. Аналогично, $C_1D_1 = 2C_1M_1$. Так как по условию $CM = C_1M_1$, то $CD = C_1D_1$.

3. $AD = BC$ (из свойств параллелограмма $ACBD$). $A_1D_1 = B_1C_1$ (из свойств параллелограмма $A_1C_1B_1D_1$). Так как по условию $BC = B_1C_1$, то $AD = A_1D_1$.

Таким образом, $\triangle ACD = \triangle A_1C_1D_1$ по трем сторонам (третий признак равенства треугольников).

Из равенства этих треугольников следует равенство их соответствующих углов, а именно $\angle CAD = \angle C_1A_1D_1$.

Поскольку $ACBD$ — параллелограмм, то $AD \parallel BC$. Прямая $AC$ является секущей для этих параллельных прямых. Следовательно, накрест лежащие углы $\angle CAD$ и $\angle ACB$ равны: $\angle CAD = \angle ACB$.

Аналогично, в параллелограмме $A_1C_1B_1D_1$ имеем $A_1D_1 \parallel B_1C_1$, а $A_1C_1$ — секущая. Поэтому $\angle C_1A_1D_1 = \angle A_1C_1B_1$.

Теперь составим цепочку равенств: $\angle ACB = \angle CAD$ (доказано выше) $= \angle C_1A_1D_1$ (из равенства треугольников $\triangle ACD$ и $\triangle A_1C_1D_1$) $= \angle A_1C_1B_1$ (доказано выше). Из этой цепочки следует, что $\angle ACB = \angle A_1C_1B_1$.

Наконец, рассмотрим исходные треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$. Мы имеем:

1. $AC = A_1C_1$ (по условию).

2. $BC = B_1C_1$ (по условию).

3. $\angle ACB = \angle A_1C_1B_1$ (как было доказано).

Следовательно, $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$ по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников), что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ равны.