Номер 11.13, страница 68 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

11.13. На рисунке 11.15 $AB = CD$, $AD = BC$, $\text{BE}$ — биссектриса угла $ABC$, а $\text{DF}$ — биссектриса угла $ADC$. Докажите, что $\Delta ABE = \Delta CDF$.

Рис. 11.15

Рассмотрим четырехугольник $ABCD$. По условию задачи, его противолежащие стороны попарно равны: $AB = CD$ и $AD = BC$. Согласно признаку, если в четырехугольнике противолежащие стороны попарно равны, то такой четырехугольник является параллелограммом. Следовательно, $ABCD$ — параллелограмм.

Из свойств параллелограмма следует, что его противолежащие углы равны, а противолежащие стороны параллельны. Таким образом, $\angle ABC = \angle ADC$ и $AB \parallel DC$.

В условии сказано, что $BE$ — биссектриса угла $\angle ABC$, а $DF$ — биссектриса угла $\angle ADC$. Биссектриса делит угол на два равных угла, поэтому $\angle ABE = \frac{1}{2}\angle ABC$ и $\angle CDF = \frac{1}{2}\angle ADC$. Поскольку $\angle ABC = \angle ADC$, то и их половины равны: $\angle ABE = \angle CDF$.

Рассмотрим параллельные прямые $AB$ и $DC$ и секущую $AC$. Накрест лежащие углы, образованные при пересечении параллельных прямых секущей, равны. Следовательно, $\angle BAC = \angle DCA$. Так как точки $E$ и $F$ лежат на отрезке $AC$, то $\angle BAE = \angle BAC$ и $\angle FCD = \angle DCA$. Отсюда следует, что $\angle BAE = \angle FCD$.

Теперь сравним треугольники $\triangle ABE$ и $\triangle CDF$. Мы установили, что у них:

• $AB = CD$ (по условию).
• $\angle ABE = \angle CDF$ (по доказанному).
• $\angle BAE = \angle FCD$ (по доказанному).

Ответ: Что и требовалось доказать.