Номер 11.8, страница 67 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

11.8. На рисунке 11.10 $AO = OC$, $AD = CD$. Докажите, что $AB = BC$.

Рис. 11.10

Рассмотрим треугольник $\triangle ADC$.

По условию, $AD = CD$. Следовательно, треугольник $\triangle ADC$ является равнобедренным с основанием $AC$.

Точка $O$ является серединой стороны $AC$, так как по условию $AO = OC$. Таким образом, отрезок $DO$ является медианой треугольника $\triangle ADC$, проведенной к основанию.

В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также и биссектрисой угла при вершине. Следовательно, $DO$ является биссектрисой угла $\angle ADC$.

Это означает, что $\angle ADO = \angle CDO$. Поскольку луч $DO$ является частью луча $DB$, то $\angle ADB = \angle CDB$.

Теперь рассмотрим треугольники $\triangle ADB$ и $\triangle CDB$.

В этих треугольниках:

1. $AD = CD$ (по условию).

2. $BD$ — общая сторона.

3. $\angle ADB = \angle CDB$ (как доказано выше).

Следовательно, $\triangle ADB = \triangle CDB$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. В частности, сторона $AB$ треугольника $\triangle ADB$ равна соответствующей стороне $CB$ треугольника $\triangle CDB$.

Таким образом, $AB = BC$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что $AB = BC$.