Номер 11.7, страница 67 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

11.7. На рисунке 11.9 $AB = BC$, $AD = CD$. Докажите, что $\angle 1$ равен $\angle 2$.

Рис. 11.9

По условию задачи в четырехугольнике $ABCD$ даны равенства сторон: $AB = BC$ и $AD = CD$. Угол, обозначенный цифрой 1, является углом при вершине A, то есть $\angle DAB$. Угол, обозначенный цифрой 2, является углом при вершине C, то есть $\angle BCD$. Необходимо доказать, что $\angle 1 = \angle 2$.

Для доказательства проведем диагональ $BD$, которая соединит вершины $B$ и $D$. Эта диагональ разделит четырехугольник $ABCD$ на два треугольника: $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$.

Рассмотрим эти два треугольника. Сравним их стороны: - сторона $AB$ треугольника $\triangle ABD$ равна стороне $BC$ треугольника $\triangle CBD$ ($AB = BC$) по условию; - сторона $AD$ треугольника $\triangle ABD$ равна стороне $CD$ треугольника $\triangle CBD$ ($AD = CD$) по условию; - сторона $BD$ является общей для обоих треугольников.

Так как три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого, то треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$ равны по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам). Запишем это как $\triangle ABD \cong \triangle CBD$.

В равных треугольниках напротив равных сторон лежат равные углы. Угол $\angle DAB$ (угол 1) в треугольнике $\triangle ABD$ и угол $\angle BCD$ (угол 2) в треугольнике $\triangle CBD$ являются соответственными, так как они лежат напротив их общей стороны $BD$.

Из равенства треугольников следует равенство их соответственных углов. Следовательно, $\angle DAB = \angle BCD$, что означает $\angle 1 = \angle 2$.

Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Для доказательства равенства углов 1 и 2 проведем диагональ $BD$. Она делит четырехугольник $ABCD$ на два треугольника: $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$. Эти треугольники равны по третьему признаку (по трем сторонам), так как $AB = BC$ и $AD = CD$ по условию, а сторона $BD$ — общая. Из равенства треугольников $\triangle ABD \cong \triangle CBD$ следует равенство их соответственных углов. Углы 1 ($\angle DAB$) и 2 ($\angle BCD$) лежат напротив общей стороны $BD$, поэтому они равны.