Номер 11.18, страница 69 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

11.18. На рисунке 11.19 $AB = CD$ и угол $\angle BAC$ равен углу $\angle DCA$. Докажите, что углы $\angle DAC$ и $\angle BCA$ равны.

Рис. 11.19

Рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$.

В этих треугольниках:

• сторона $AB$ равна стороне $CD$ по условию ($AB = CD$);
• угол $\angle BAC$ равен углу $\angle DCA$ по условию;
• сторона $AC$ является общей для обоих треугольников.

Таким образом, две стороны и угол между ними треугольника $\triangle ABC$ (стороны $AB$, $AC$ и угол $\angle BAC$) соответственно равны двум сторонам и углу между ними треугольника $\triangle CDA$ (стороны $CD$, $AC$ и угол $\angle DCA$).

Следовательно, по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), треугольник $\triangle ABC$ равен треугольнику $\triangle CDA$.

Из равенства треугольников следует, что их соответственные элементы равны. В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы. Угол $\angle BCA$ в треугольнике $\triangle ABC$ лежит напротив стороны $AB$. Угол $\angle DAC$ в треугольнике $\triangle CDA$ лежит напротив стороны $CD$.

Поскольку стороны $AB$ и $CD$ равны по условию, то и соответствующие им углы $\angle BCA$ и $\angle DAC$ также равны.

Итак, $\angle BCA = \angle DAC$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство углов $DAC$ и $BCA$ доказано.