Номер 11.19, страница 69 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

11.19. На рисунке 11.19 угол $ABD$ равен углу $CDB$ и угол $ADB$ равен углу $CBD$. Докажите, что углы $BAD$ и $DCВ$ равны.

Рис. 11.19

Рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle CDB$.

По условию задачи дано, что $\angle ABD = \angle CDB$ и $\angle ADB = \angle CBD$. Сторона $BD$ является общей для этих двух треугольников.

Таким образом, для треугольников $\triangle ABD$ и $\triangle CDB$ выполняется, что сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника.

По второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам), следует, что $\triangle ABD = \triangle CDB$.

Так как треугольники равны, то их соответственные элементы также равны. В частности, равны углы, лежащие напротив равных сторон. Угол $\angle BAD$ в треугольнике $\triangle ABD$ лежит напротив стороны $BD$. Угол $\angle DCB$ в треугольнике $\triangle CDB$ лежит напротив стороны $DB$. Поскольку сторона $BD$ общая, а треугольники равны, то углы напротив этой стороны в каждом из треугольников равны.

Следовательно, $\angle BAD = \angle DCB$.

Ответ: Что и требовалось доказать.