Задания, страница 71 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

Докажите самостоятельно $\angle BCD > \angle BAC$ по аналогии доказательства $\angle BCD > \angle ABC$.

Для доказательства неравенства $∠BCD > ∠BAC$ мы воспользуемся методом, аналогичным тому, который используется для доказательства $∠BCD > ∠ABC$. Доказательство будет состоять из нескольких шагов.

Сначала отметим, что угол $∠BCD$, образованный продлением стороны $AC$ за вершину $C$, и угол $∠ACE$, образованный продлением стороны $BC$ за вершину $C$, являются вертикальными. Следовательно, $∠BCD = ∠ACE$. Таким образом, задача сводится к доказательству того, что $∠ACE > ∠BAC$.

Доказательство

1. В треугольнике $ΔABC$ найдем середину стороны $AC$ и обозначим ее точкой $N$.

2. Проведем отрезок (медиану) $BN$ и продлим его за точку $N$ до точки $F$ так, чтобы $BN = NF$.

3. Соединим точки $F$ и $C$ отрезком.

4. Рассмотрим треугольники $ΔABN$ и $ΔCFN$. В них:

   • $AN = NC$ (по построению, так как $N$ — середина $AC$).

   • $BN = NF$ (по построению).

   • $∠ANB = ∠CNF$ (как вертикальные углы).

   Следовательно, по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), $ΔABN ≅ ΔCFN$.

5. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов. Нас интересует равенство $∠BAN = ∠FCN$. Угол $∠BAN$ — это тот же угол, что и $∠BAC$, а $∠FCN$ — тот же, что и $∠ACF$. Таким образом, мы доказали, что $∠BAC = ∠ACF$.

6. Теперь докажем, что луч $CF$ лежит внутри угла $∠ACE$. Для этого нужно показать, что точка $F$ находится внутри угла $∠ACE$. Это означает, что должны выполняться два условия:

   1. Точки $A$ и $F$ лежат по одну сторону от прямой $BC$ (прямой $CE$).

   2. Точки $E$ и $F$ лежат по одну сторону от прямой $AC$.

   Проверим эти условия:

   a) Точка $N$ лежит на отрезке $AC$. Так как $A, B, C$ не лежат на одной прямой, точка $A$ и отрезок $AC$ (за исключением точки $C$) лежат по одну сторону от прямой $BC$. Значит, точка $N$ лежит по ту же сторону от прямой $BC$, что и точка $A$. Точки $B, N, F$ лежат на одной прямой, причем $N$ — середина отрезка $BF$. Так как точка $B$ лежит на прямой $BC$, а точка $N$ — нет, весь луч $BN$ (кроме точки $B$) лежит в одной полуплоскости. Точка $F$ лежит на этом луче, значит, $F$ находится в той же полуплоскости, что и $N$, и, следовательно, в той же, что и $A$. Условие выполнено.

   b) Точки $B, N, F$ лежат на одной прямой, которая пересекает прямую $AC$ в точке $N$. Значит, точки $B$ и $F$ лежат по разные стороны от прямой $AC$. Точки $B, C, E$ также лежат на одной прямой, которая пересекает прямую $AC$ в точке $C$. Значит, точки $B$ и $E$ лежат по разные стороны от прямой $AC$. Раз $B$ и $F$ по разные стороны и $B$ и $E$ по разные стороны от прямой $AC$, то точки $E$ и $F$ лежат по одну сторону от прямой $AC$. Условие выполнено.

7. Поскольку луч $CF$ проходит внутри угла $∠ACE$, то величина угла $∠ACE$ равна сумме величин углов $∠ACF$ и $∠FCE$: $∠ACE = ∠ACF + ∠FCE$.

8. Так как $∠FCE$ — это угол, его величина строго больше нуля ($∠FCE > 0$). Следовательно, $∠ACE > ∠ACF$.

9. Используя равенство $∠BAC = ∠ACF$ из шага 5, мы можем заменить $∠ACF$ в неравенстве из шага 8: $∠ACE > ∠BAC$.

10. Наконец, так как углы $∠BCD$ и $∠ACE$ являются вертикальными, $∠BCD = ∠ACE$. Заменяя $∠ACE$ в полученном неравенстве, мы приходим к окончательному выводу: $∠BCD > ∠BAC$.

Ответ: Неравенство $∠BCD > ∠BAC$ доказано. Доказательство основано на построении вспомогательного угла $∠ACE$, вертикального к $∠BCD$, и использовании аналогичного метода с построением медианы (в данном случае $BN$) и конгруэнтного треугольника, чтобы показать, что $∠ACE$ больше, чем $∠BAC$.