Номер 12.5, страница 73 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

12.5. В треугольнике ABC сторона $\text{AB}$ наибольшая. Каким может быть угол $\text{C}$?

В любом треугольнике против большей стороны лежит больший угол. По условию, сторона $AB$ в треугольнике $ABC$ является наибольшей. Это означает, что по длине $AB \ge BC$ и $AB \ge AC$.

Угол, лежащий напротив стороны $AB$, — это угол $C$. Следовательно, угол $C$ является наибольшим углом в треугольнике, то есть его величина не меньше величины двух других углов: $\angle C \ge \angle A$ и $\angle C \ge \angle B$.

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$: $\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$.

Из этого равенства можно выразить сумму углов $A$ и $B$: $\angle A + \angle B = 180^\circ - \angle C$.

Поскольку $\angle C$ — наибольший угол, мы имеем $\angle A \le \angle C$ и $\angle B \le \angle C$. Сложив эти два неравенства, получаем: $\angle A + \angle B \le \angle C + \angle C$, что равносильно $\angle A + \angle B \le 2\angle C$.

Подставим в полученное неравенство выражение для суммы $\angle A + \angle B$: $180^\circ - \angle C \le 2\angle C$.

Теперь решим это неравенство относительно $\angle C$: $180^\circ \le 3\angle C$ $\frac{180^\circ}{3} \le \angle C$ $60^\circ \le \angle C$.

Таким образом, мы нашли нижнюю границу для угла $C$. Он должен быть не меньше $60^\circ$. Случай равенства $\angle C = 60^\circ$ достигается в равностороннем треугольнике, где все стороны равны (и любую можно считать наибольшей), и все углы равны $60^\circ$.

Верхняя граница для любого угла в треугольнике составляет $180^\circ$, так как сумма двух других углов должна быть положительной: $\angle A + \angle B = 180^\circ - \angle C > 0$, откуда следует $\angle C < 180^\circ$. Этот случай также возможен: можно представить себе треугольник, у которого угол $C$ очень близок к $180^\circ$, а углы $A$ и $B$ очень малы. В таком "почти вырожденном" треугольнике сторона $AB$ будет очевидно самой длинной.

Следовательно, угол $C$ может принимать любое значение из промежутка от $60^\circ$ (включительно) до $180^\circ$ (не включая). Ответ: Угол $C$ может быть любым в промежутке $[60^\circ; 180^\circ)$.