Номер 12.13, страница 73 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

12.13. Вершины треугольника $ABC$ соединены отрезками с точкой $\text{D}$, лежащей внутри этого треугольника, $AC > AB$, $CD = BD$ (рис. 12.8). Докажите, что угол $\angle ACD$ меньше угла $\angle ABD$.

Рис. 12.8

Рассмотрим треугольник $ABC$. По условию, сторона $AC$ длиннее стороны $AB$, то есть $AC > AB$. Согласно свойству треугольника, против большей стороны лежит больший угол. Следовательно, угол $ABC$ больше угла $ACB$. Запишем это в виде неравенства: $\angle ABC > \angle ACB$.

Теперь рассмотрим треугольник $BCD$. По условию, стороны $CD$ и $BD$ равны: $CD = BD$. Это означает, что треугольник $BCD$ является равнобедренным с основанием $BC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Таким образом, $\angle DBC = \angle DCB$.

Поскольку точка $D$ находится внутри треугольника $ABC$, луч $BD$ делит угол $ABC$ на два угла, а луч $CD$ делит угол $ACB$ на два угла. Мы можем записать:

$\angle ABC = \angle ABD + \angle DBC$

$\angle ACB = \angle ACD + \angle DCB$

Подставим эти выражения для углов в неравенство $\angle ABC > \angle ACB$:

$\angle ABD + \angle DBC > \angle ACD + \angle DCB$

Мы ранее установили, что $\angle DBC = \angle DCB$. Так как мы вычитаем равные величины из обеих частей неравенства, знак неравенства сохраняется:

$\angle ABD + \angle DBC - \angle DBC > \angle ACD + \angle DCB - \angle DCB$

Упростив, получаем:

$\angle ABD > \angle ACD$

Это неравенство можно переписать как $\angle ACD < \angle ABD$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Из $AC > AB$ следует, что $\angle ABC > \angle ACB$. Так как $\triangle BCD$ равнобедренный ($CD=BD$), то $\angle DBC = \angle DCB$. Подставляя выражения для углов ($\angle ABC = \angle ABD + \angle DBC$ и $\angle ACB = \angle ACD + \angle DCB$) в неравенство и вычитая равные углы, получаем $\angle ABD > \angle ACD$, или $\angle ACD < \angle ABD$.