Номер 12.17, страница 74 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

12.17. На рисунке 12.12 $\angle 1 = \angle 2$, $\angle 3 < \angle 4$. Докажите, что $AC > BD$.

Рис. 12.12

Для доказательства воспользуемся методом вспомогательного построения.

Исходя из обозначений на рисунке, мы имеем дело с двумя треугольниками $\triangle ABC$ и $\triangle ABD$, имеющими общую сторону $AB$. Углы на рисунке обозначены следующим образом:

• $\angle 1 = \angle CAB$ (угол между сторонами $AC$ и $AB$)
• $\angle 2 = \angle DBA$ (угол между сторонами $BD$ и $BA$)
• $\angle 3 = \angle DAC$ (угол между сторонами $AD$ и $AC$)
• $\angle 4 = \angle CBD$ (угол между сторонами $CB$ и $BD$)

Полные углы треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle ABD$ при вершинах A и B выражаются через данные углы:

• $\angle DAB = \angle DAC + \angle CAB = \angle 3 + \angle 1$
• $\angle CBA = \angle CBD + \angle DBA = \angle 4 + \angle 2$

По условию задачи:

1. $\angle 1 = \angle 2$ (что эквивалентно $\angle CAB = \angle DBA$)
2. $\angle 3 < \angle 4$ (что эквивалентно $\angle DAC < \angle CBD$)

Доказательство:

1. Построим треугольник $\triangle ABC'$, конгруэнтный треугольнику $\triangle BAD$, так, чтобы вершина $C'$ лежала по ту же сторону от прямой $AB$, что и вершина $C$. Из конгруэнтности треугольников ($\triangle ABC' \cong \triangle BAD$) следует равенство соответствующих сторон и углов:

• $AC' = BD$
• $BC' = AD$
• $\angle BAC' = \angle ABD = \angle 2$
• $\angle ABC' = \angle BAD = \angle 1 + \angle 3$

2. Сравним положение точек $C$ и $C'$. Обе точки лежат на лучах, выходящих из точки $A$. Сравним углы $\angle BAC$ и $\angle BAC'$:

• $\angle BAC = \angle 1$ (по условию)
• $\angle BAC' = \angle 2$ (из построения)

Поскольку по условию $\angle 1 = \angle 2$, то $\angle BAC = \angle BAC'$. Это означает, что точки $C$ и $C'$ лежат на одном и том же луче, выходящем из точки $A$.

3. Теперь сравним положение точек $C$ и $C'$ относительно вершины $B$. Для этого сравним углы $\angle ABC$ и $\angle ABC'$:

• $\angle ABC = \angle 2 + \angle 4$ (из рисунка)
• $\angle ABC' = \angle 1 + \angle 3$ (из построения)

Нам дано, что $\angle 1 = \angle 2$ и $\angle 3 < \angle 4$. Сложив $\angle 1$ с обеими частями второго неравенства, получим $\angle 1 + \angle 3 < \angle 1 + \angle 4$. Заменив $\angle 1$ на равный ему $\angle 2$ в правой части, получим:

$\angle 1 + \angle 3 < \angle 2 + \angle 4$

Следовательно, $\angle ABC' < \angle ABC$.

4. Мы установили, что точки $C$ и $C'$ лежат на одном луче с началом в точке $A$, и что луч $BC'$ образует с $BA$ меньший угол, чем луч $BC$. Рассмотрим $\triangle ABC$. Так как $\angle ABC' < \angle ABC$, луч $BC'$ проходит внутри угла $\angle ABC$. Поскольку точка $C'$ также лежит на луче $AC$, точка $C'$ является точкой пересечения луча $BC'$ со стороной $AC$ треугольника $\triangle ABC$. Это означает, что точка $C'$ лежит на отрезке $AC$, причем $C'$ не совпадает с $C$ (так как $\angle ABC' \neq \angle ABC$). Следовательно, $AC' < AC$.

5. Из нашего построения мы знаем, что $AC' = BD$. Заменяя $AC'$ на $BD$ в неравенстве $AC' < AC$, получаем:

$BD < AC$, или $AC > BD$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказательство приведено выше.