Номер 13.4, страница 79 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

13.4. Может ли прямоугольный треугольник быть:

а) равнобедренным;

б) равносторонним?

а) Да, прямоугольный треугольник может быть равнобедренным.

Равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого как минимум две стороны равны. В прямоугольном треугольнике есть два типа сторон: катеты и гипотенуза. Рассмотрим возможные случаи равенства сторон:

1. Равны два катета. Пусть катеты $a$ и $b$ равны, то есть $a = b$. Такой треугольник по определению является и прямоугольным, и равнобедренным. Углы, противолежащие равным сторонам, также равны. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике составляет $90^\circ$. Следовательно, каждый из этих углов будет равен $90^\circ / 2 = 45^\circ$. Таким образом, существует прямоугольный равнобедренный треугольник с углами $45^\circ$, $45^\circ$ и $90^\circ$.

2. Катет равен гипотенузе. В прямоугольном треугольнике гипотенуза является самой длинной стороной. Согласно теореме Пифагора, $c^2 = a^2 + b^2$, где $c$ — гипотенуза, а $a$ и $b$ — катеты. Если предположить, что $c = a$, то $a^2 = a^2 + b^2$, откуда следует, что $b^2 = 0$, то есть $b=0$. Треугольник со стороной, равной нулю, не существует. Значит, катет не может быть равен гипотенузе.

Таким образом, прямоугольный треугольник может быть равнобедренным только в том случае, если его катеты равны.

Ответ: да, может.

б) Нет, прямоугольный треугольник не может быть равносторонним.

Равносторонний треугольник — это треугольник, у которого все три стороны равны. Следствием этого является то, что все три его угла также равны. Так как сумма углов любого треугольника равна $180^\circ$, то каждый угол в равностороннем треугольнике равен $180^\circ / 3 = 60^\circ$.

Прямоугольный треугольник по определению — это треугольник, у которого один из углов прямой, то есть равен $90^\circ$.

Возникает противоречие: в равностороннем треугольнике все углы равны $60^\circ$, а в прямоугольном треугольнике один из углов должен быть равен $90^\circ$. Треугольник не может одновременно удовлетворять этим двум несовместимым условиям.

Ответ: нет, не может.