Номер 13.10, страница 79 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

13.10. В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AC = BC$) $\text{CD}$ — высота. Докажите, что треугольники $ACD$ и $BCD$ равны.

Рассмотрим треугольники $ACD$ и $BCD$.

По условию задачи, треугольник $ABC$ является равнобедренным, и его боковые стороны равны: $AC = BC$.

Также по условию, отрезок $CD$ является высотой, проведенной к основанию $AB$. По определению высоты, она перпендикулярна стороне, к которой проведена, следовательно, $CD \perp AB$. Это означает, что углы $\angle ADC$ и $\angle BDC$ являются прямыми, то есть $\angle ADC = \angle BDC = 90^\circ$.

Таким образом, треугольники $ACD$ и $BCD$ являются прямоугольными. Для доказательства их равенства сравним их элементы:

1. Гипотенузы $AC$ и $BC$ равны ($AC = BC$), так как это боковые стороны равнобедренного треугольника $ABC$ по условию.

2. Катет $CD$ является общим для обоих треугольников.

Поскольку гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то эти треугольники равны по признаку равенства прямоугольных треугольников (по гипотенузе и катету).

Следовательно, $\triangle ACD = \triangle BCD$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство треугольников $ACD$ и $BCD$ доказано.