Номер 13.11, страница 79 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

13.11. Докажите, что если две высоты треугольника равны, то этот треугольник равнобедренный.

Для доказательства данного утверждения рассмотрим произвольный треугольник $ABC$. Проведем в нем две высоты, например, $AA_1$ к стороне $BC$ и $CC_1$ к стороне $AB$. Согласно условию задачи, эти высоты равны: $AA_1 = CC_1$. Требуется доказать, что треугольник $ABC$ является равнобедренным, то есть что стороны $AB$ и $BC$ равны.

Приведем два способа доказательства.

Способ 1 (через площадь треугольника) Площадь $S$ любого треугольника можно найти по формуле $S = \frac{1}{2}ah$, где $a$ — длина стороны, а $h$ — длина высоты, проведенной к этой стороне.

Выразим площадь треугольника $ABC$ двумя способами:

1. Через основание $BC$ и высоту $AA_1$: $S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AA_1$.

2. Через основание $AB$ и высоту $CC_1$: $S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CC_1$.

Так как площадь одного и того же треугольника постоянна, мы можем приравнять эти два выражения:

$\frac{1}{2} \cdot BC \cdot AA_1 = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CC_1$

Умножим обе части равенства на 2:

$BC \cdot AA_1 = AB \cdot CC_1$

По условию задачи, высоты равны, то есть $AA_1 = CC_1$. Заменим в равенстве $CC_1$ на $AA_1$:

$BC \cdot AA_1 = AB \cdot AA_1$

Поскольку для невырожденного треугольника длина высоты $AA_1$ больше нуля, мы можем разделить обе части равенства на $AA_1$:

$BC = AB$

Мы получили, что две стороны треугольника равны. По определению, такой треугольник является равнобедренным. Что и требовалось доказать.

Способ 2 (через равенство прямоугольных треугольников) Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle AA_1C$ и $\triangle CC_1A$.

В этих треугольниках:

- Сторона $AC$ является общей гипотенузой.

- Катет $AA_1$ треугольника $\triangle AA_1C$ равен катету $CC_1$ треугольника $\triangle CC_1A$ по условию задачи ($AA_1 = CC_1$).

Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle AA_1C$ и $\triangle CC_1A$ равны по гипотенузе и катету.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов. Значит, угол $\angle A_1CA$ равен углу $\angle C_1AC$. Эти углы в исходном треугольнике $ABC$ являются углами при основании $AC$, то есть $\angle BCA = \angle BAC$.

Согласно признаку равнобедренного треугольника, если в треугольнике два угла равны, то он является равнобедренным. Стороны, лежащие напротив равных углов, также равны. В нашем случае это стороны $AB$ и $BC$.

$AB = BC$

Таким образом, треугольник $ABC$ — равнобедренный. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Если две высоты треугольника равны, то стороны, к которым проведены эти высоты, также равны, и, следовательно, треугольник является равнобедренным.