Номер 13.12, страница 79 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

13.12. Используя метод доказательства от противного, докажите, что если катет и противолежащий ему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Для доказательства воспользуемся методом от противного.

Пусть даны два прямоугольных треугольника $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $, в которых $ \angle C = \angle C_1 = 90^\circ $. По условию, у них равны катет и противолежащий ему острый угол. Для определённости, пусть катет $ AC $ равен катету $ A_1C_1 $, а противолежащий ему угол $ \angle B $ равен углу $ \angle B_1 $.

Дано:

$ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $

$ \angle C = \angle C_1 = 90^\circ $

$ AC = A_1C_1 $

$ \angle B = \angle B_1 $

Доказать: $ \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1 $

Доказательство:

Предположим противное: пусть $ \triangle ABC \neq \triangle A_1B_1C_1 $.

Совместим треугольник $ \triangle A_1B_1C_1 $ с треугольником $ \triangle ABC $ так, чтобы их равные катеты $ A_1C_1 $ и $ AC $ совпали. Поскольку $ \angle C = \angle C_1 = 90^\circ $, то катет $ C_1B_1 $ пойдет по лучу $ CB $.

Из нашего предположения, что треугольники не равны, следует, что их вершины $ B $ и $ B_1 $ не совпадут. Возможны два случая:

1. Точка $ B_1 $ лежит на отрезке $ CB $, то есть $ CB_1 < CB $. В этом случае угол $ \angle AB_1C $ (который равен углу $ \angle B_1 $ по построению) является внешним углом для треугольника $ \triangle AB_1B $. Согласно свойству внешнего угла, он больше любого внутреннего угла, не смежного с ним. Следовательно, $ \angle AB_1C > \angle ABB_1 $. Так как $ \angle ABB_1 $ — это угол $ \angle B $ треугольника $ \triangle ABC $, а $ \angle AB_1C $ — это угол $ \angle B_1 $, то мы получаем, что $ \angle B_1 > \angle B $. Это противоречит условию, по которому $ \angle B = \angle B_1 $.

2. Точка $ B $ лежит на отрезке $ CB_1 $, то есть $ CB < CB_1 $. В этом случае угол $ \angle ABC $ (угол $ \angle B $) является внешним углом для треугольника $ \triangle ABB_1 $. Следовательно, $ \angle ABC > \angle AB_1B $. Так как $ \angle AB_1B $ — это угол $ \angle B_1 $, то мы получаем, что $ \angle B > \angle B_1 $. Это также противоречит условию $ \angle B = \angle B_1 $.

Оба возможных случая, вытекающих из нашего предположения, приводят к противоречию с условием задачи. Следовательно, наше первоначальное предположение о том, что треугольники не равны, является неверным. Таким образом, единственно возможный случай — это когда точки $ B $ и $ B_1 $ совпадают. В этом случае треугольники $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $ полностью совмещаются, а значит, они равны.

Ответ: Утверждение доказано. Если катет и противолежащий ему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.