Проверь себя!, страница 80 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

ПРОВЕРЬ СЕБЯ!

1. В каком треугольнике любая его высота делит треугольник на два равных треугольника?

A. Равнобедренном.
B. Произвольном.
C. Равностороннем.
D. Такого треугольника не существует.

2. Медиана, проведенная к одной из сторон треугольника, перпендикулярна ей. Определите вид данного треугольника:

A. Прямоугольный.
B. Разносторонний.
C. Равнобедренный.
D. Нельзя определить.

3. Дан треугольник ABC, у которого $AB = BC = CA$. CD его биссектриса, $AD = 3$ см. Найдите периметр треугольника ABC:

A. 3 см.
B. 6 см.
C. 9 см.
D. 18 см.

4. Высота, проведенная к одной из сторон треугольника, делит ее пополам. Определите вид данного треугольника:

A. Прямоугольный.
B. Разносторонний.
C. Равнобедренный.
D. Нельзя определить.

5. Дан треугольник ABC, у которого $AB = BC = CA$. BH — его высота. Периметр данного треугольника равен 42 см. Найдите AH:

A. 7 см.
B. 14 см.
C. 21 см.
D. 35 см.

6. Периметр треугольника равен 60 см. Его стороны относятся, как 3 : 4 : 5. Найдите их:

A. 9 см, 12 см, 15 см.
B. 12 см, 16 см, 20 см.
C. 10 см, 20 см, 30 см.
D. 15 см, 20 см, 25 см.

7. Биссектриса, проведенная к одной из сторон треугольника, делит ее пополам. Определите вид данного треугольника:

A. Прямоугольный.
B. Разносторонний.
C. Равнобедренный.
D. Нельзя определить.

8. Периметр равнобедренного треугольника равен 32 см. Биссектриса угла, противолежащего основанию, делит треугольник на два треугольника, периметры которых равны по 24 см. Найдите эту биссектрису:

A. 6 см.
B. 8 см.
C. 12 см.
D. 16 см.

9. Два отрезка EF и GH в точке пересечения делятся пополам. Найдите отрезок GF, если $EH = 10$ см:

A. 5 см.
B. 10 см.
C. 15 см.
D. 20 см.

10. Для установления равенства двух равносторонних треугольников достаточно проверить равенство некоторых элементов. Каких именно:

A. Одной стороны.
B. Одного угла.
C. Одной стороны и одного угла.
D. Двух сторон.

11. В двух прямоугольных треугольниках равно по одному острому углу. Равенство каких еще их элементов достаточно проверить для того, чтобы установить равенство самих треугольников?

A. Второго острого угла.
B. Прилежащего катета.
C. Гипотенузы и второго острого угла.
D. Катета и второго острого угла.

12. Основание равнобедренного треугольника равно 8 см. Медиана, проведенная из вершины угла при основании, делит его периметр на две части, из которых одна больше другой на 2 см. Найдите боковую сторону треугольника:

A. 4 см.
B. 8 см.
C. 10 см.
D. 12 см.

13. Известно, что треугольник имеет один внешний прямой угол. Определите вид треугольника:

A. Прямоугольный.
B. Остроугольный.
C. Тупоугольный.
D. Нельзя определить.

14. Известно, что треугольник имеет один внешний острый угол. Определите вид треугольника:

A. Прямоугольный.
B. Остроугольный.
C. Тупоугольный.
D. Нельзя определить.

15. Определите вид треугольника, если один его внешний угол равен внутреннему углу:

A. Равносторонний.
B. Тупоугольный.
C. Прямоугольный.
D. Остроугольный.

16. Сравните углы треугольника ABC, если $AB = 5$ см, $AC = 7$ см, $BC = 6$ см:

A. $\angle A > \angle B > \angle C$.
B. $\angle A > \angle C > \angle B$.
C. $\angle C > \angle A > \angle B$.
D. $\angle B > \angle A > \angle C$.

17. Сравните углы треугольника DEF, если $DE = DF = 12$ см, $EF = 5$ см:

A. $\angle D < \angle E = \angle F$.
B. $\angle D > \angle E > \angle F$.
C. $\angle D > \angle E = \angle F$.
D. $\angle D < \angle F < \angle E$.

18. Сравните стороны треугольника ABC, если $\angle A < \angle B < \angle C$:

A. $AB < AC < BC$.
B. $AB < BC < AC$.
C. $AB > AC > BC$.
D. $AB > BC > AC$.

19. Сравните стороны треугольника DEF, если $\angle D > \angle E > \angle F$:

A. $DE > DF > EF$.
B. $DF > DE > EF$.
C. $DF > EF > DE$.
D. $EF > DF > DE$.

20. Сравните стороны треугольника ABC, если $\angle A < \angle B = \angle C$:

A. $AB < AC = BC$.
B. $BC < AB = AC$.
C. $AC > BC = AB$.
D. $AB > BC = AC$.

1. Высота в треугольнике делит его на два прямоугольных треугольника. Чтобы эти два треугольника были равны, необходимо, чтобы высота была также медианой. В общем случае это свойство выполняется для равнобедренного треугольника, если высота проведена к основанию. Вопрос требует, чтобы любая высота делила треугольник на два равных. Это свойство выполняется только в равностороннем треугольнике. В равностороннем треугольнике все стороны равны, и любая высота, проведенная из любой вершины, является также медианой и биссектрисой, разделяя треугольник на два равных прямоугольных треугольника.

Ответ: C. Равностороннем.

2. Пусть в треугольнике $ABC$ проведена медиана $BM$ к стороне $AC$. По определению медианы, $AM=MC$. По условию, медиана перпендикулярна стороне, то есть $BM \perp AC$. Таким образом, в треугольниках $ABM$ и $CBM$ сторона $BM$ — общая, $AM=MC$, и углы $\angle BMA$ и $\angle BMC$ прямые и равны друг другу. Следовательно, треугольники $ABM$ и $CBM$ равны по двум катетам (или по двум сторонам и углу между ними). Из равенства треугольников следует равенство их гипотенуз: $AB=BC$. Треугольник, у которого две стороны равны, называется равнобедренным.

Ответ: C. Равнобедренный.

3. Треугольник $ABC$ является равносторонним, так как $AB = BC = CA$. В равностороннем треугольнике биссектриса угла является также и медианой. Следовательно, биссектриса $CD$, проведенная к стороне $AB$, делит эту сторону пополам в точке $D$. Таким образом, $AD = DB$. По условию $AD = 3$ см, значит $DB = 3$ см, а вся сторона $AB = AD + DB = 3 + 3 = 6$ см. Так как треугольник равносторонний, все его стороны равны 6 см. Периметр треугольника $P$ равен сумме длин всех его сторон: $P = AB + BC + CA = 6 + 6 + 6 = 18$ см.

Ответ: D. 18 см.

4. Пусть в треугольнике $ABC$ проведена высота $BH$ к стороне $AC$. По условию, высота делит сторону пополам, то есть $H$ — середина $AC$, и $AH = HC$. Таким образом, высота $BH$ является также и медианой. Если в треугольнике высота совпадает с медианой, то такой треугольник является равнобедренным.

Ответ: C. Равнобедренный.

5. Треугольник $ABC$ является равносторонним ($AB = BC = CA$). Его периметр равен 42 см. В равностороннем треугольнике все стороны равны, поэтому длина каждой стороны равна $P/3 = 42/3 = 14$ см. Значит, $AC = 14$ см. $BH$ — высота, проведенная к стороне $AC$. В равностороннем треугольнике высота является также и медианой, то есть делит сторону, к которой она проведена, пополам. Следовательно, точка $H$ является серединой стороны $AC$. Длина отрезка $AH$ равна половине длины стороны $AC$: $AH = AC / 2 = 14 / 2 = 7$ см.

Ответ: A. 7 см.

6. Пусть стороны треугольника равны $a, b, c$. Их отношение равно $3:4:5$. Можно записать длины сторон как $a = 3k$, $b = 4k$, $c = 5k$, где $k$ — коэффициент пропорциональности. Периметр треугольника — это сумма длин его сторон: $P = a + b + c = 3k + 4k + 5k = 12k$. По условию, периметр равен 60 см. Следовательно, $12k = 60$, откуда $k = 60 / 12 = 5$. Теперь найдем длины сторон: $a = 3 \cdot 5 = 15$ см. $b = 4 \cdot 5 = 20$ см. $c = 5 \cdot 5 = 25$ см.

Ответ: D. 15 см, 20 см, 25 см.

7. Если биссектриса, проведенная к одной из сторон, делит эту сторону пополам, то она является и медианой. В треугольнике, в котором биссектриса и медиана, проведенные из одной вершины, совпадают, этот треугольник является равнобедренным. (Это следует из свойства биссектрисы: она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Если отрезки равны, то и прилежащие стороны равны).

Ответ: C. Равнобедренный.

8. Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$ и боковыми сторонами $AB=BC=a$. Основание $AC=b$. Периметр $P_{ABC} = 2a + b = 32$ см. Пусть $BD$ — биссектриса угла $B$. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой. Она делит треугольник $ABC$ на два равных прямоугольных треугольника $ABD$ и $CBD$. Периметр одного из них, например $ABD$, равен $P_{ABD} = AB + AD + BD$. Так как $BD$ — медиана, то $AD = b/2$. Обозначим длину биссектрисы $BD$ как $h_{b}$. Тогда $P_{ABD} = a + b/2 + h_{b}$. По условию $P_{ABD} = 24$ см. Мы имеем систему уравнений: 1) $2a + b = 32 \implies a + b/2 = 16$ 2) $a + b/2 + h_{b} = 24$ Подставив значение $a + b/2$ из первого уравнения во второе, получим: $16 + h_{b} = 24$. Отсюда $h_{b} = 24 - 16 = 8$ см.

Ответ: B. 8 см.

9. Пусть отрезки $EF$ и $GH$ пересекаются в точке $O$. По условию, $EO = OF$ и $GO = OH$. Рассмотрим треугольники $EOH$ и $FOG$. В этих треугольниках $EO=OF$ и $HO=OG$ по условию, а углы $\angle EOH$ и $\angle FOG$ равны как вертикальные. Следовательно, треугольники $EOH$ и $FOG$ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: $GF = EH$. Так как $EH = 10$ см, то и $GF = 10$ см.

Ответ: B. 10 см.

10. Равносторонний треугольник — это треугольник, у которого все стороны равны, а все углы равны $60^\circ$. Если у двух равносторонних треугольников равна одна сторона, то и все остальные стороны у них соответственно равны. По третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), эти треугольники равны. Равенства только одного угла недостаточно, так как все равносторонние треугольники имеют углы по $60^\circ$, но могут иметь разные размеры.

Ответ: A. Одной стороны.

11. В двух прямоугольных треугольниках уже есть по одному равному прямому углу. По условию, в них равно еще по одному острому углу. Это значит, что и третья пара углов (вторые острые углы) также равна, так как сумма углов треугольника $180^\circ$. Таким образом, треугольники подобны по трем углам. Для того чтобы доказать их равенство (конгруэнтность), необходимо и достаточно доказать равенство хотя бы одной пары соответственных сторон. Вариант "Второго острого угла" не добавляет информации. Варианты "Гипотенузы" или "Катета" являются достаточными. Вариант "Прилежащего катета" — это частный случай "Катета". Если у нас есть равенство углов и прилежащего катета, то треугольники равны по второму признаку (по стороне и двум прилежащим углам, один из которых прямой, а второй - острый). Это достаточное условие.

Ответ: B. Прилежащего катета.

12. Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC=8$ см и боковыми сторонами $AB=BC=x$. Пусть $AM$ — медиана, проведенная из вершины угла при основании $A$ к боковой стороне $BC$. Точка $M$ — середина $BC$, поэтому $BM=MC=x/2$. Медиана делит ломаную $ABC$, составляющую часть периметра, на две части: $AB+BM$ и $MC+CA$. Длина первой части: $AB + BM = x + x/2 = 3x/2$. Длина второй части: $AC + CM = 8 + x/2$. По условию, разница между длинами этих частей равна 2 см. Случай 1: $(3x/2) - (8 + x/2) = 2 \implies x - 8 = 2 \implies x = 10$. Случай 2: $(8 + x/2) - (3x/2) = 2 \implies 8 - x = 2 \implies x = 6$. Оба варианта (стороны 10, 10, 8 и 6, 6, 8) удовлетворяют неравенству треугольника. В предложенных вариантах ответа есть только 10 см. Проверим: если боковая сторона 10 см, части периметра равны $10+5=15$ см и $8+5=13$ см. Разница $15-13=2$ см. Условие выполняется.

Ответ: C. 10 см.

13. Внешний угол треугольника и смежный с ним внутренний угол в сумме дают $180^\circ$. Если внешний угол прямой, то есть равен $90^\circ$, то и смежный с ним внутренний угол равен $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Треугольник, имеющий прямой угол, называется прямоугольным.

Ответ: A. Прямоугольный.

14. Если внешний угол треугольника острый, то есть его мера меньше $90^\circ$, то смежный с ним внутренний угол будет равен $180^\circ$ минус величина острого угла. Результат будет больше $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Таким образом, этот внутренний угол будет тупым. Треугольник, имеющий тупой угол, называется тупоугольным.

Ответ: C. Тупоугольный.

15. Пусть один из внешних углов треугольника, например, при вершине $C$, равен $\gamma_{ext}$. Смежный с ним внутренний угол равен $\gamma$. Известно, что $\gamma + \gamma_{ext} = 180^\circ$. По условию, внешний угол равен какому-то внутреннему. Случай 1: Внешний угол равен смежному с ним внутреннему углу: $\gamma_{ext} = \gamma$. Тогда $2\gamma = 180^\circ$, и $\gamma = 90^\circ$. Треугольник прямоугольный. Случай 2: Внешний угол равен внутреннему, не смежному с ним, например $\gamma_{ext} = \alpha$. Но по свойству внешнего угла $\gamma_{ext} = \alpha + \beta$. Получаем $\alpha = \alpha + \beta$, что возможно только при $\beta=0$, а это невозможно для треугольника. Значит, возможен только первый случай.

Ответ: C. Прямоугольный.

16. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол. Даны стороны: $AB = 5$ см, $BC = 6$ см, $AC = 7$ см. Упорядочим стороны по возрастанию длины: $AB < BC < AC$. Углы, лежащие против этих сторон, — это $\angle C$, $\angle A$ и $\angle B$ соответственно. Следовательно, для углов будет верна та же зависимость: $\angle C < \angle A < \angle B$. В обратном порядке это выглядит как $\angle B > \angle A > \angle C$.

Ответ: D. $\angle B > \angle A > \angle C$.

17. Дан треугольник $DEF$, в котором $DE = DF = 12$ см, а $EF = 5$ см. Так как две стороны равны, треугольник является равнобедренным. Углы при основании равнобедренного треугольника равны. Основанием является сторона $EF$, значит, углы при основании — $\angle E$ и $\angle F$. Таким образом, $\angle E = \angle F$. Далее, сравним угол при вершине $D$ с углами при основании. Сторона $EF$, лежащая против угла $D$, равна 5 см. Стороны $DE$ и $DF$, лежащие против углов $F$ и $E$, равны 12 см. Так как $EF < DE$ ($5 < 12$), то и угол, лежащий против стороны $EF$, меньше угла, лежащего против стороны $DE$. То есть, $\angle D < \angle F$. Так как $\angle E = \angle F$, то и $\angle D < \angle E$. Объединяя, получаем: $\angle D < \angle E = \angle F$.

Ответ: A. $\angle D < \angle E = \angle F$.

18. В треугольнике против большего угла лежит большая сторона. Дано соотношение углов: $\angle A < \angle B < \angle C$. Стороны, лежащие против этих углов, — это $BC$ (против $\angle A$), $AC$ (против $\angle B$) и $AB$ (против $\angle C$). Следовательно, для сторон будет выполняться аналогичное неравенство: $BC < AC < AB$. Это неравенство можно записать и в обратном порядке: $AB > AC > BC$.

Ответ: C. $AB > AC > BC$.

19. Дано соотношение углов: $\angle D > \angle E > \angle F$. Стороны, лежащие против этих углов, — это $EF$ (против $\angle D$), $DF$ (против $\angle E$) и $DE$ (против $\angle F$). Поскольку против большего угла лежит большая сторона, то для сторон будет выполняться аналогичное неравенство: $EF > DF > DE$.

Ответ: D. $EF > DF > DE$.

20. Дано соотношение углов: $\angle A < \angle B = \angle C$. Так как углы $\angle B$ и $\angle C$ равны, то треугольник $ABC$ является равнобедренным. Стороны, лежащие против равных углов, равны. Сторона против $\angle B$ — это $AC$, а сторона против $\angle C$ — это $AB$. Следовательно, $AB = AC$. Далее, нам известно, что $\angle A < \angle B$. Сравним стороны, лежащие против этих углов: $BC$ (против $\angle A$) и $AC$ (против $\angle B$). Так как $\angle A < \angle B$, то и $BC < AC$. Объединяя полученные результаты, имеем: $BC < AC$ и $AB = AC$. Это можно записать как $BC < AB = AC$.

Ответ: B. $BC < AB = AC$.