Номер 14.3, страница 85 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

14.3. Может ли медиана треугольника быть меньше высоты, проведенной из той же вершины треугольника?

Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$. Проведем из вершины $A$ медиану $AM$ и высоту $AH$ к стороне $BC$.

По определению, высота $AH$ — это перпендикуляр, опущенный из вершины $A$ на прямую, содержащую сторону $BC$. Это значит, что треугольник $AHM$ является прямоугольным, с прямым углом при вершине $H$ ($\angle AHM = 90^\circ$).

В этом прямоугольном треугольнике $AHM$ отрезок $AH$ является катетом, а отрезок $AM$ (медиана исходного треугольника) — гипотенузой, так как он лежит напротив прямого угла.

В любом прямоугольном треугольнике длина гипотенузы всегда больше или равна длине любого из катетов. Следовательно, для длин отрезков $AM$ и $AH$ всегда выполняется неравенство: $AM \ge AH$.

Равенство $AM = AH$ достигается только в том случае, когда длина второго катета $HM$ равна нулю. Это означает, что точки $H$ (основание высоты) и $M$ (середина стороны) совпадают. Такое происходит, когда высота, проведенная из вершины, является также и медианой. Это свойство выполняется для высоты, проведенной к основанию в равнобедренном треугольнике, а также для любой высоты в равностороннем треугольнике.

Во всех остальных случаях, когда точки $H$ и $M$ не совпадают, гипотенуза $AM$ будет строго длиннее катета $AH$, то есть $AM > AH$.

Таким образом, медиана треугольника не может быть меньше высоты, проведенной из той же вершины.

Ответ: Нет, не может.