Номер 14.5, страница 85 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

14.5. На клетчатой бумаге изобразите точки и прямые, как показано на рисунке 14.5. Из точки $\text{C}$ опустите перпендикуляр $\text{CD}$ на прямую $\text{AB}$.

Рис. 14.5

Для того чтобы опустить перпендикуляр из точки C на прямую AB на клетчатой бумаге, мы используем свойство наклонов (угловых коэффициентов) перпендикулярных прямых. Если прямая AB имеет наклон, который соответствует смещению на $Δx$ клеток по горизонтали и на $Δy$ клеток по вертикали (то есть, её угловой коэффициент $k_{AB} = \frac{Δy}{Δx}$), то перпендикулярная ей прямая CD будет иметь наклон, соответствующий смещению на $Δy$ клеток по горизонтали и $-Δx$ клеток по вертикали (или $-Δy$ по горизонтали и $Δx$ по вертикали). Угловой коэффициент такой прямой будет $k_{CD} = -\frac{Δx}{Δy} = -\frac{1}{k_{AB}}$.

а) Рассмотрим прямую AB. Чтобы переместиться из точки A в точку B, необходимо сдвинуться на 3 клетки вправо и на 3 клетки вниз. Таким образом, смещение для прямой AB составляет $(Δx = 3, Δy = -3)$.

Угловой коэффициент прямой AB равен $k_{AB} = \frac{-3}{3} = -1$.

Для перпендикулярной прямой CD угловой коэффициент должен быть $k_{CD} = -\frac{1}{-1} = 1$.

Это означает, что перпендикулярная прямая на каждую 1 клетку вправо смещается на 1 клетку вверх (или на 1 влево и 1 вниз). Такие прямые на клетчатой бумаге проходят по диагоналям клеток.

Чтобы построить перпендикуляр, нужно из точки C провести прямую с наклоном 1 (по диагоналям клеток) до пересечения с прямой AB. Точка пересечения D и будет основанием перпендикуляра.

Ответ: Из точки C проводим отрезок по диагоналям клеток вниз и влево до пересечения с прямой AB. Этот отрезок и будет перпендикуляром CD.

б) Рассмотрим прямую AB. Чтобы переместиться из точки A в точку B, необходимо сдвинуться на 4 клетки вправо и на 1 клетку вниз. Смещение для прямой AB: $(Δx = 4, Δy = -1)$.

Угловой коэффициент прямой AB равен $k_{AB} = \frac{-1}{4}$.

Для перпендикулярной прямой CD угловой коэффициент должен быть $k_{CD} = -\frac{1}{-1/4} = 4$.

Прямая с угловым коэффициентом 4 на каждую 1 клетку вправо смещается на 4 клетки вверх, или на 1 клетку влево — на 4 клетки вниз.

Для построения перпендикуляра из точки C проводим прямую с таким наклоном. Например, от точки C отступаем на 1 клетку влево и 4 клетки вниз — получаем точку, через которую также проходит наш перпендикуляр. Соединяем эту точку с C и продолжаем до пересечения с прямой AB.

Ответ: Для построения перпендикуляра CD из точки C проводим прямую так, чтобы при смещении на 1 клетку влево она опускалась на 4 клетки вниз. Точка пересечения этой прямой с прямой AB будет точкой D.

в) Рассмотрим прямую AB. Она проходит через узлы сетки. Например, выберем две такие точки: одна на 1 клетку правее и 4 клетки выше левого нижнего угла видимой сетки, а другая — на 3 клетки правее и на уровне нижнего края. Чтобы переместиться из первой точки во вторую, нужно сдвинуться на 2 клетки вправо и на 4 клетки вниз. Смещение для прямой AB: $(Δx = 2, Δy = -4)$.

Угловой коэффициент прямой AB равен $k_{AB} = \frac{-4}{2} = -2$.

Для перпендикулярной прямой CD угловой коэффициент должен быть $k_{CD} = -\frac{1}{-2} = \frac{1}{2}$.

Прямая с угловым коэффициентом $\frac{1}{2}$ на каждые 2 клетки вправо смещается на 1 клетку вверх, или на каждые 2 клетки влево — на 1 клетку вниз.

Начнем построение из точки C. Смещаемся на 2 клетки влево и 1 клетку вниз. Мы попадаем в узел сетки, который, как можно проверить, лежит на прямой AB. Это и есть точка D.

Ответ: Из точки C проводим отрезок до узла сетки, который находится на 2 клетки левее и 1 клетку ниже. Этот узел является точкой D, основанием перпендикуляра на прямой AB.