Номер 14.11, страница 86 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

14.11. Докажите, что если две наклонные, проведенные из данной точки к данной прямой, имеют равные проекции, то они равны (рис. 14.6).

Рис. 14.6

14.11. Пусть из точки А к прямой CD проведены перпендикуляр АВ и две наклонные АС и АD. По определению, отрезок BC является проекцией наклонной AC на прямую CD, а отрезок BD — проекцией наклонной AD на ту же прямую.

По условию задачи, проекции этих наклонных равны, то есть $BC = BD$.

Рассмотрим треугольники $ΔABC$ и $ΔABD$.

Поскольку АВ — перпендикуляр к прямой CD, то углы $∠ABC$ и $∠ABD$ являются прямыми. Следовательно, треугольники $ΔABC$ и $ΔABD$ — прямоугольные.

Сравним эти два прямоугольных треугольника. У них есть общий катет АВ. Катеты $BC$ и $BD$ равны по условию задачи. Таким образом, прямоугольные треугольники $ΔABC$ и $ΔABD$ равны по двум катетам.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. Гипотенуза $AC$ треугольника $ΔABC$ соответствует гипотенузе $AD$ треугольника $ΔABD$, следовательно, их длины равны: $AC = AD$.

Таким образом, мы доказали, что если две наклонные, проведенные из данной точки к данной прямой, имеют равные проекции, то они равны.

Ответ: Утверждение доказано. Равенство наклонных $AC$ и $AD$ следует из равенства прямоугольных треугольников $ΔABC$ и $ΔABD$ по признаку равенства по двум катетам (общий катет $AB$ и равные по условию катеты-проекции $BC$ и $BD$).