Новые знания, страница 87 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

$\text{a}$

Параллельны ли прямые а и b на рисунке 15.1?

Как вы думаете, какими должны быть внутренние накрест лежащие углы, что-бы прямые были параллельными?

Рис. 15.1

Параллельны ли прямые а и b на рисунке 15.1? Чтобы определить, параллельны ли прямые a и b, нужно проверить, выполняются ли признаки параллельности прямых. Один из основных признаков гласит: если при пересечении двух прямых третьей (секущей) внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

На рисунке 15.1 прямые a и b пересечены секущей c. Внутренними накрест лежащими углами являются две пары: $∠3$ и $∠6$, а также $∠4$ и $∠5$.

Даже без точных измерений, по чертежу можно сделать вывод об этих углах. Угол $∠3$ — острый (меньше 90°), а угол $∠6$ — тупой (больше 90°). Это означает, что их градусные меры не равны: $∠3 \ne ∠6$.

То же самое можно сказать и о второй паре: угол $∠4$ — тупой, а угол $∠5$ — острый, следовательно, $∠4 \ne ∠5$.

Поскольку условие равенства внутренних накрест лежащих углов не выполняется, прямые a и b не параллельны. Визуально это подтверждается тем, что при их продлении вправо они пересекутся.

Ответ: Нет, прямые a и b на рисунке не параллельны.

Как вы думаете, какими должны быть внутренние накрест лежащие углы, чтобы прямые были параллельными? Существует признак параллельности двух прямых, который напрямую связывает параллельность с внутренними накрест лежащими углами. Он формулируется так: если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

На данном рисунке внутренние накрест лежащие углы — это $∠3$ и $∠6$, а также $∠4$ и $∠5$. Они находятся между прямыми a и b и по разные стороны от секущей c.

Следовательно, для того чтобы прямая a была параллельна прямой b ($a \parallel b$), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство для одной из пар этих углов: $∠3 = ∠6$ или $∠4 = ∠5$.

Если одна пара этих углов равна (например, $∠3 = ∠6$), то и вторая пара также будет равна ($∠4 = ∠5$), так как эти углы являются смежными с углами первой пары до 180° ($∠3+∠4=180°$ и $∠5+∠6=180°$).

Ответ: Внутренние накрест лежащие углы должны быть равны друг другу.