Номер 15.2, страница 89 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

15.2. Могут ли оба внутренних односторонних угла при пересечении двух прямых третьей быть тупыми?

15.2. Да, могут.

Рассмотрим две прямые a и b, пересеченные третьей прямой (секущей) c. При этом образуются две пары внутренних односторонних углов. Разберем два случая.

1. Если прямые a и b параллельны (a || b).

По свойству параллельных прямых, сумма внутренних односторонних углов равна $180^\circ$. Пусть $ \alpha $ и $ \beta $ — пара таких углов. Тогда $ \alpha + \beta = 180^\circ $.

Тупой угол — это угол, градусная мера которого больше $90^\circ$. Если предположить, что оба угла тупые, то $ \alpha > 90^\circ $ и $ \beta > 90^\circ $. Сложив эти неравенства, получим $ \alpha + \beta > 180^\circ $, что противоречит свойству параллельных прямых. Следовательно, в случае параллельных прямых оба внутренних односторонних угла не могут быть тупыми.

2. Если прямые a и b не параллельны.

В этом случае прямые a и b пересекаются в некоторой точке P. Секущая c вместе с отрезками прямых a и b образует треугольник.

Пусть секущая c пересекает прямую a в точке A и прямую b в точке B. Рассмотрим треугольник ABP. Два его угла при вершинах A и B являются внутренними односторонними углами. Обозначим их $ \angle A $ и $ \angle B $. По теореме о сумме углов треугольника: $ \angle A + \angle B + \angle P = 180^\circ $. Так как $ \angle P > 0^\circ $, то $ \angle A + \angle B < 180^\circ $.

Если бы оба угла $ \angle A $ и $ \angle B $ были тупыми, их сумма была бы больше $180^\circ$, что противоречит полученному неравенству. Значит, та пара внутренних односторонних углов, которая лежит на стороне пересечения прямых, не может состоять из двух тупых углов.

Однако существует вторая пара внутренних односторонних углов, расположенная с другой стороны от секущей. Обозначим их $ \alpha' $ и $ \beta' $. Эти углы являются смежными к углам $ \angle A $ и $ \angle B $ соответственно. Таким образом:

$ \alpha' = 180^\circ - \angle A $

$ \beta' = 180^\circ - \angle B $

Вопрос заключается в том, могут ли $ \alpha' $ и $ \beta' $ быть одновременно тупыми. То есть, выполняются ли неравенства:

$ \alpha' > 90^\circ \implies 180^\circ - \angle A > 90^\circ \implies \angle A < 90^\circ $

$ \beta' > 90^\circ \implies 180^\circ - \angle B > 90^\circ \implies \angle B < 90^\circ $

Таким образом, задача сводится к вопросу: могут ли углы $ \angle A $ и $ \angle B $ в треугольнике ABP быть оба острыми? Да, это возможно. Например, можно взять треугольник с углами $ \angle A = 70^\circ $ и $ \angle B = 60^\circ $. Оба угла острые.

Тогда вторая пара внутренних односторонних углов будет равна:

$ \alpha' = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ $

$ \beta' = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ $

Оба угла, $110^\circ$ и $120^\circ$, являются тупыми. Это доказывает, что оба внутренних односторонних угла при пересечении двух непараллельных прямых третьей могут быть тупыми.

Ответ: да, могут.