Номер 15.8, страница 90 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

15.8. В треугольнике $ABC$ $\angle A = 40^\circ$, $\angle B = 70^\circ$. Через вершину $\text{B}$ проведена прямая $\text{BD}$ так, что луч $\text{BC}$ — биссектриса угла $ABD$ (15.7). Докажите, что прямые $\text{AC}$ и $\text{BD}$ параллельны.

Рис. 15.7

Для доказательства параллельности прямых $AC$ и $BD$ воспользуемся признаком параллельности прямых по равенству накрест лежащих углов. В качестве секущей рассмотрим прямую $BC$.

1. Найдем величину угла $BCA$ в треугольнике $ABC$. По теореме о сумме углов треугольника: $\angle BCA = 180^\circ - \angle BAC - \angle ABC$. Подставим известные значения: $\angle BCA = 180^\circ - 40^\circ - 70^\circ = 70^\circ$.

2. По условию, луч $BC$ является биссектрисой угла $ABD$. Это означает, что он делит угол $ABD$ на два равных угла, то есть $\angle ABC = \angle CBD$. Поскольку $\angle ABC = 70^\circ$, то и $\angle CBD = 70^\circ$.

3. Теперь сравним накрест лежащие углы $\angle BCA$ и $\angle CBD$, образованные при пересечении прямых $AC$ и $BD$ секущей $BC$. Мы получили, что $\angle BCA = 70^\circ$ и $\angle CBD = 70^\circ$.

Поскольку накрест лежащие углы равны ($\angle BCA = \angle CBD$), то по признаку параллельности прямых, прямые $AC$ и $BD$ параллельны. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что прямые $AC$ и $BD$ параллельны.