Номер 15.9, страница 90 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

15.9. Отрезки $\text{AB}$ и $\text{CD}$ пересекаются в их общей середине $\text{O}$ (рис. 15.8). Докажите, что прямые $\text{AC}$ и $\text{BD}$ параллельны.

Рис. 15.8

Доказательство:

Рассмотрим два треугольника, образованных пересечением отрезков: $\triangle AOC$ и $\triangle BOD$.

Согласно условию задачи, отрезки $AB$ и $CD$ пересекаются в их общей середине $O$. Это означает, что точка $O$ делит каждый из этих отрезков на две равные части. Таким образом, мы имеем:

1. $AO = OB$ (поскольку $O$ – середина отрезка $AB$).

2. $CO = OD$ (поскольку $O$ – середина отрезка $CD$).

Также углы $\angle AOC$ и $\angle BOD$ являются вертикальными углами, образованными при пересечении прямых $AB$ и $CD$. По свойству вертикальных углов, они равны:

3. $\angle AOC = \angle BOD$.

Таким образом, в треугольниках $\triangle AOC$ и $\triangle BOD$ две стороны и угол между ними соответственно равны (сторона $AO$ равна $BO$, сторона $CO$ равна $DO$, и угол $\angle AOC$ равен углу $\angle BOD$).

Следовательно, по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), $\triangle AOC = \triangle BOD$.

Из равенства треугольников следует равенство их соответственных углов. В частности, нас интересуют углы $\angle OAC$ и $\angle OBD$. Эти углы равны:

$\angle OAC = \angle OBD$.

Эти углы являются внутренними накрест лежащими при прямых $AC$ и $BD$ и секущей $AB$.

По признаку параллельности прямых, если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то такие прямые параллельны. Так как $\angle OAC = \angle OBD$, то прямые $AC$ и $BD$ параллельны.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что прямые $AC$ и $BD$ параллельны.