Номер 15.15, страница 90 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

15.15. Докажите, что биссектрисы внутренних накрест лежащих углов, образованных двумя параллельными прямыми и секущей, параллельны, т. е. лежат на параллельных прямых.

Дано:

Пусть даны две параллельные прямые $a$ и $b$ ($a \parallel b$) и секущая $c$. Секущая $c$ образует с прямыми $a$ и $b$ пару внутренних накрест лежащих углов, которые мы обозначим как $\angle 1$ и $\angle 2$. Пусть $m_1$ — биссектриса угла $\angle 1$, а $m_2$ — биссектриса угла $\angle 2$.

Доказать:

Биссектрисы $m_1$ и $m_2$ параллельны, то есть $m_1 \parallel m_2$.

Доказательство:

Согласно свойству параллельных прямых, внутренние накрест лежащие углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей, равны. Следовательно, $\angle 1 = \angle 2$.

По определению, биссектриса делит угол пополам. Биссектриса $m_1$ делит угол $\angle 1$ на два равных угла. Биссектриса $m_2$ делит угол $\angle 2$ на два равных угла.

Рассмотрим углы, которые образуют биссектрисы $m_1$ и $m_2$ с секущей $c$. Пусть $\angle 3$ — это угол между биссектрисой $m_1$ и секущей $c$, а $\angle 4$ — это угол между биссектрисой $m_2$ и секущей $c$. Эти углы являются внутренними накрест лежащими для прямых $m_1$ и $m_2$ и секущей $c$.

Величина этих углов равна:

$\angle 3 = \frac{1}{2}\angle 1$

$\angle 4 = \frac{1}{2}\angle 2$

Так как из условия $\angle 1 = \angle 2$, то и их половины равны:

$\frac{1}{2}\angle 1 = \frac{1}{2}\angle 2$

Отсюда следует, что $\angle 3 = \angle 4$.

Мы получили, что внутренние накрест лежащие углы $\angle 3$ и $\angle 4$ при прямых $m_1$, $m_2$ и секущей $c$ равны. Согласно признаку параллельности двух прямых, если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то такие прямые параллельны.

Следовательно, $m_1 \parallel m_2$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что биссектрисы внутренних накрест лежащих углов, образованных двумя параллельными прямыми и секущей, лежат на параллельных прямых.