Номер 15.19, страница 91 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

15.19. На рисунке 15.11 стороны $\text{a}$ и $\text{b}$ одного угла соответственно параллельны сторонам $\text{c}$ и $\text{d}$ другого угла. Докажите, что эти углы в сумме составляют $180^\circ$.

Рис. 15.11

Обозначим угол со сторонами a и b как $\angle 1$, а угол со сторонами c и d — как $\angle 2$. По условию задачи, стороны углов соответственно параллельны: $a \parallel c$ и $b \parallel d$. Необходимо доказать, что сумма этих углов составляет $180^\circ$.

Для доказательства выполним дополнительное построение. Продолжим сторону d так, чтобы она пересекла сторону a. Точку пересечения назовем K. Образовавшийся при этом угол между стороной a и продолжением стороны d обозначим как $\angle 3$.

Рассмотрим параллельные прямые a и c, которые пересекает секущая d. Углы $\angle 2$ и $\angle 3$ являются соответственными. По свойству параллельных прямых, соответственные углы равны:

$\angle 2 = \angle 3$

Далее, рассмотрим параллельные прямые b и d, которые пересекает секущая a. Углы $\angle 1$ и $\angle 3$ являются внутренними односторонними. По свойству параллельных прямых, сумма внутренних односторонних углов равна $180^\circ$:

$\angle 1 + \angle 3 = 180^\circ$

Теперь в последнем равенстве заменим $\angle 3$ на равный ему $\angle 2$:

$\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ$

Таким образом, доказано, что сумма углов, стороны которых соответственно параллельны и направлены так, как показано на рисунке, составляет $180^\circ$.

Ответ: Доказано, что сумма этих углов составляет $180^\circ$.