Вопросы, страница 92 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

1. Чему равна сумма углов треугольника?

2. Чему равна сумма острых углов прямоугольного треугольника?

3. Чему равен внешний угол треугольника?

1. Чему равна сумма углов треугольника?

Сумма внутренних углов любого треугольника в евклидовой геометрии является постоянной величиной и всегда равна 180 градусам. Это одна из фундаментальных теорем геометрии, известная как теорема о сумме углов треугольника.

Если обозначить углы треугольника как $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$, то их соотношение будет всегда следующим:

$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$

Это свойство выполняется для абсолютно любого треугольника, будь он остроугольным, прямоугольным или тупоугольным.

Доказательство этого факта можно провести, если через одну из вершин треугольника провести прямую, параллельную противолежащей стороне. Углы, которые образуются между этой прямой и двумя сторонами треугольника, будут равны двум другим углам треугольника (как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых и секущих). В результате три угла при выбранной вершине (изначальный внутренний угол и два вновь образованных) вместе образуют развёрнутый угол, который равен 180°.

Ответ: Сумма углов треугольника равна 180°.

2. Чему равна сумма острых углов прямоугольного треугольника?

Прямоугольным треугольником называется треугольник, в котором один из углов прямой, то есть его величина составляет 90°. Два других угла в таком треугольнике всегда являются острыми (их величина меньше 90°), так как в противном случае сумма углов превысила бы 180°.

Исходя из теоремы о сумме углов треугольника (180°), мы можем определить сумму острых углов. Пусть в прямоугольном треугольнике один угол равен 90°, а два острых угла — $\alpha$ и $\beta$. Тогда:

$\alpha + \beta + 90^\circ = 180^\circ$

Чтобы найти сумму острых углов ($\alpha + \beta$), необходимо вычесть 90° из обеих частей равенства:

$\alpha + \beta = 180^\circ - 90^\circ$

$\alpha + \beta = 90^\circ$

Таким образом, сумма двух острых углов в любом прямоугольном треугольнике всегда равна 90°.

Ответ: Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

3. Чему равен внешний угол треугольника?

Внешний угол треугольника — это угол, который является смежным с одним из его внутренних углов. Он образуется при продлении одной из сторон треугольника за ее вершину.

Существует теорема о внешнем угле треугольника, которая гласит: внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

Давайте докажем это. Рассмотрим треугольник с внутренними углами $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$. Пусть нам нужно найти величину внешнего угла $\delta$, смежного с углом $\gamma$.

По определению смежных углов, их сумма равна 180°:

$\gamma + \delta = 180^\circ$

Отсюда можно выразить $\delta$:

$\delta = 180^\circ - \gamma$

В то же время, по теореме о сумме углов треугольника:

$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$

Выразим из этого равенства сумму углов $\alpha$ и $\beta$:

$\alpha + \beta = 180^\circ - \gamma$

Сравнивая два полученных выражения, мы видим, что правые части у них одинаковы. Следовательно, левые части также равны:

$\delta = \alpha + \beta$

Таким образом, величина внешнего угла треугольника действительно равна сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

Ответ: Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.