Номер 15.17, страница 91 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

15.17. Докажите, что две прямые, параллельные третьей, параллельны.

15.17. Данное утверждение, известное как теорема о параллельности прямых, является свойством транзитивности отношения параллельности. Докажем его методом от противного, основываясь на аксиоме о параллельных прямых.

Пусть даны три различные прямые $a$, $b$ и $c$, лежащие в одной плоскости. По условию задачи известно, что прямая $a$ параллельна прямой $c$, и прямая $b$ также параллельна прямой $c$. Математически это записывается как $a \parallel c$ и $b \parallel c$.

Нам необходимо доказать, что прямая $a$ параллельна прямой $b$, то есть $a \parallel b$.

Предположим обратное: пусть прямые $a$ и $b$ не параллельны. По определению, две непараллельные прямые на плоскости пересекаются в одной и только одной точке. Обозначим эту точку пересечения буквой $M$. Таким образом, точка $M$ принадлежит одновременно и прямой $a$, и прямой $b$.

Исходя из нашего предположения, мы получаем, что через точку $M$ проходят две разные прямые ($a$ и $b$), и обе эти прямые параллельны одной и той же прямой $c$. (Точка $M$ не может лежать на прямой $c$, потому что если бы она лежала на $c$, то прямые $a$ и $b$, проходящие через $M$, пересекали бы $c$, что противоречит условию их параллельности).

Полученная ситуация противоречит аксиоме о параллельных прямых (пятому постулату Евклида), которая в одной из своих формулировок (аксиома Плейфера) гласит: через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Так как наше исходное предположение (что прямые $a$ и $b$ пересекаются) привело к противоречию с фундаментальной аксиомой геометрии, оно является неверным. Следовательно, прямые $a$ и $b$ не могут пересекаться.

По определению, две прямые на плоскости, которые не пересекаются, называются параллельными. Значит, прямая $a$ параллельна прямой $b$.

Ответ: Утверждение доказано. Две прямые, параллельные третьей, параллельны друг другу.