Номер 15.11, страница 90 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

15.11. Найдите углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей, если:

а) один из углов равен $150^\circ$;

б) один из углов на $70^\circ$ больше другого.

При пересечении двух параллельных прямых секущей образуется 8 углов. Все эти углы можно разделить на две группы: четыре равных между собой острых угла и четыре равных между собой тупых угла. Любой острый угол и любой тупой угол являются смежными или односторонними, поэтому их сумма составляет $180^{\circ}$.

а) один из углов равен 150°

Пусть один из образовавшихся углов равен $150^{\circ}$. Так как этот угол больше $90^{\circ}$, он является тупым. При пересечении параллельных прямых секущей все тупые углы равны. Это означает, что имеется четыре угла по $150^{\circ}$.

Остальные четыре угла являются острыми. Обозначим величину острого угла через $\alpha$. Сумма смежных углов (острого и тупого) равна $180^{\circ}$.

$\alpha + 150^{\circ} = 180^{\circ}$

Вычтем $150^{\circ}$ из обеих частей уравнения:

$\alpha = 180^{\circ} - 150^{\circ} = 30^{\circ}$

Таким образом, четыре острых угла равны $30^{\circ}$.

Ответ: четыре угла по $150^{\circ}$ и четыре угла по $30^{\circ}$.

б) один из углов на 70° больше другого

При пересечении образуются углы только двух различных величин. Обозначим их как $\alpha$ и $\beta$. Два любых угла либо равны, либо их сумма равна $180^{\circ}$. Поскольку по условию один угол больше другого, они не могут быть равны. Следовательно, их сумма равна $180^{\circ}$.

Пусть $\alpha$ — это больший угол, а $\beta$ — меньший. Из условия задачи мы имеем два соотношения:

1. Один угол на $70^{\circ}$ больше другого: $\alpha = \beta + 70^{\circ}$.

2. Сумма этих углов равна $180^{\circ}$: $\alpha + \beta = 180^{\circ}$.

Подставим выражение для $\alpha$ из первого уравнения во второе:

$(\beta + 70^{\circ}) + \beta = 180^{\circ}$

$2\beta + 70^{\circ} = 180^{\circ}$

$2\beta = 180^{\circ} - 70^{\circ}$

$2\beta = 110^{\circ}$

$\beta = \frac{110^{\circ}}{2} = 55^{\circ}$

Теперь найдем величину второго угла $\alpha$:

$\alpha = \beta + 70^{\circ} = 55^{\circ} + 70^{\circ} = 125^{\circ}$

Итак, острые углы равны $55^{\circ}$, а тупые углы равны $125^{\circ}$.

Ответ: четыре угла по $125^{\circ}$ и четыре угла по $55^{\circ}$.