Номер 15.16, страница 91 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

15.16. Докажите, что если некоторая прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.

Для доказательства этого утверждения воспользуемся методом от противного.

Дано:

Прямые $a$ и $b$ параллельны ($a \parallel b$).

Прямая $c$ пересекает прямую $a$ в точке $M$.

Доказать:

Прямая $c$ пересекает прямую $b$.

Доказательство:

Предположим, что утверждение неверно, то есть прямая $c$ не пересекает прямую $b$.

Если две различные прямые на плоскости не пересекаются, то они параллельны. Из нашего предположения следует, что $c \parallel b$.

Теперь рассмотрим ситуацию:

1. Прямая $a$ параллельна прямой $b$ ($a \parallel b$) по условию.

2. Прямая $c$ параллельна прямой $b$ ($c \parallel b$) по нашему предположению.

3. Прямая $c$ проходит через точку $M$, которая также лежит на прямой $a$. Поскольку $a \parallel b$, точка $M$ не принадлежит прямой $b$.

Таким образом, мы получили, что через точку $M$, не лежащую на прямой $b$, проходят две разные прямые ($a$ и $c$), каждая из которых параллельна прямой $b$.

Это утверждение противоречит аксиоме параллельных прямых (также известной как пятый постулат Евклида), которая гласит, что через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.

Полученное противоречие означает, что наше первоначальное предположение было неверным. Следовательно, прямая $c$ не может быть параллельна прямой $b$ и обязана её пересекать.

Ответ: Что и требовалось доказать.