Номер 15.18, страница 91 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

15.18. На рисунке 15.10 стороны $\text{a}$ и $\text{b}$ одного угла соответственно параллельны сторонам $\text{c}$ и $\text{d}$ другого угла. Докажите, что эти углы равны.

Рис. 15.10

Доказательство

Обозначим угол, образованный сторонами a и b, как $α$, а угол, образованный сторонами c и d, как $β$. Согласно условию задачи, стороны этих углов соответственно параллельны, то есть $a \parallel c$ и $b \parallel d$. На рисунке показан случай, когда стороны углов сонаправлены.

Для доказательства равенства углов $α$ и $β$ введем вспомогательный угол. Продолжим прямую c до пересечения с прямой b. Угол, образованный при пересечении прямых b и c, который является соответственным для угла $α$, обозначим как $γ$.

Рассмотрим параллельные прямые a и c и секущую b. Углы $α$ и $γ$ являются соответственными. По свойству соответственных углов при параллельных прямых, они равны:

$α = γ$

Теперь рассмотрим параллельные прямые b и d и секущую c. Углы $β$ и $γ$ также являются соответственными. Угол $β$ образован прямыми c и d, а угол $γ$ образован прямыми c и b. Поскольку $b \parallel d$, то угол, который образует секущая c с прямой b, равен углу, который она образует с прямой d. Следовательно:

$β = γ$

Так как $α = γ$ и $β = γ$, то из этого следует, что $α = β$.

Таким образом, мы доказали, что углы с соответственно параллельными и сонаправленными сторонами равны.

Ответ: Равенство углов доказано.