Номер 15.13, страница 90 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

15.13. Разность двух внутренних односторонних углов, образованных параллельными прямыми и секущей, равна $30^\circ$. Найдите эти углы.

15.13. Пусть даны две параллельные прямые, пересеченные секущей. Обозначим внутренние односторонние углы как $ \alpha $ и $ \beta $. По свойству параллельных прямых, пересеченных секущей, сумма внутренних односторонних углов равна $180^\circ$.

Следовательно, мы можем составить первое уравнение: $ \alpha + \beta = 180^\circ $.

Согласно условию задачи, разность этих углов равна $30^\circ$. Предположим, что $ \alpha $ является большим углом, а $ \beta $ — меньшим. Тогда мы можем составить второе уравнение:

$ \alpha - \beta = 30^\circ $.

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

$ \begin{cases} \alpha + \beta = 180^\circ \\ \alpha - \beta = 30^\circ \end{cases} $

Для решения этой системы удобно сложить два уравнения:

$ (\alpha + \beta) + (\alpha - \beta) = 180^\circ + 30^\circ $

Упрощая левую часть, получаем:

$ 2\alpha = 210^\circ $

Теперь найдем значение $ \alpha $:

$ \alpha = \frac{210^\circ}{2} = 105^\circ $

Чтобы найти значение $ \beta $, подставим найденное значение $ \alpha $ в первое уравнение системы:

$ 105^\circ + \beta = 180^\circ $

Выразим $ \beta $:

$ \beta = 180^\circ - 105^\circ $

$ \beta = 75^\circ $

Таким образом, мы нашли оба угла. Проверим результат: их разность равна $ 105^\circ - 75^\circ = 30^\circ $, что соответствует условию задачи. Их сумма равна $ 105^\circ + 75^\circ = 180^\circ $, что соответствует свойству внутренних односторонних углов.

Ответ: $75^\circ$ и $105^\circ$.