Номер 15.10, страница 90 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

15.10. Найдите неизвестный угол, если $AD \parallel BC$ (рис. 15.9).

Рис. 15.9

а) На рисунке а) изображен четырехугольник $ABCD$, у которого, по условию, стороны $AD$ и $BC$ параллельны ($AD \parallel BC$). Такой четырехугольник является трапецией с основаниями $AD$ и $BC$. Неизвестный угол — это угол при вершине $C$, то есть $\angle BCD$. На чертеже углы при основании $AD$, то есть $\angle A$ и $\angle D$, отмечены дугами одинаковой формы. В учебных задачах это обычно означает, что углы равны. Если углы при основании трапеции равны, то трапеция является равнобедренной. Следовательно, мы можем заключить, что $\angle ADC = \angle DAB = 62^\circ$. Прямые $AD$ и $BC$ параллельны, а прямая $CD$ является для них секущей. Сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых и секущей равна $180^\circ$. В данном случае, это углы $\angle ADC$ и $\angle BCD$. Таким образом, мы можем записать равенство: $\angle ADC + \angle BCD = 180^\circ$. Подставим известное значение угла $\angle ADC$: $62^\circ + \angle BCD = 180^\circ$. Отсюда находим неизвестный угол $\angle BCD$: $\angle BCD = 180^\circ - 62^\circ = 118^\circ$.

Ответ: $118^\circ$.

б) На рисунке б) показан треугольник $FAD$, который пересекает прямая $BC$, параллельная стороне $AD$ ($AD \parallel BC$). Нам дан угол $\angle FDA = 70^\circ$ и нужно найти угол $\angle FBC$. Рассмотрим параллельные прямые $AD$ и $BC$ и секущую $FD$. Углы $\angle FCB$ и $\angle FDA$ являются соответственными, а значит, они равны: $\angle FCB = \angle FDA = 70^\circ$. На чертеже стороны $FB$ и $FC$ треугольника $FBC$ отмечены одинаковыми штрихами. Это означает, что треугольник $FBC$ является равнобедренным с основанием $BC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. В треугольнике $FBC$ углами при основании являются $\angle FBC$ и $\angle FCB$. Следовательно, $\angle FBC = \angle FCB$. Поскольку мы уже установили, что $\angle FCB = 70^\circ$, то искомый угол $\angle FBC$ также равен $70^\circ$.

Ответ: $70^\circ$.

в) На рисунке в) дано, что $AD \parallel BC$. Отрезки $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Дан угол $\angle ODA = 65^\circ$. Требуется найти угол $\angle OCB$. Хотя маркировка на общем чертеже может показаться неоднозначной, на увеличенных фрагментах изображения можно предположить, что стороны $OA$ и $OD$ треугольника $AOD$ равны. Будем исходить из предположения, что $OA = OD$. Треугольник, у которого две стороны равны, является равнобедренным. Следовательно, треугольник $AOD$ — равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы, противолежащие равным сторонам, также равны. В треугольнике $AOD$ стороне $OA$ противолежит угол $\angle ODA$, а стороне $OD$ противолежит угол $\angle OAD$. Таким образом, из равенства сторон $OA = OD$ следует равенство углов $\angle ODA = \angle OAD$. По условию, $\angle ODA = 65^\circ$, значит, и $\angle OAD = 65^\circ$. Теперь воспользуемся условием параллельности прямых $AD$ и $BC$. Прямая $AC$ является секущей для этих параллельных прямых. Углы $\angle OCB$ и $\angle OAD$ являются внутренними накрест лежащими углами. Внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых и секущей равны. Следовательно, $\angle OCB = \angle OAD$. Поскольку мы нашли, что $\angle OAD = 65^\circ$, то искомый угол $\angle OCB$ также равен $65^\circ$.

Ответ: $65^\circ$.