Номер 15.14, страница 90 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

15.14. Концы отрезка $\text{AB}$ лежат на параллельных прямых $\text{a}$ и $\text{b}$. Прямая, проходящая через середину $\text{O}$ этого отрезка, пересекает прямые $\text{a}$ и $\text{b}$ в точках $\text{C}$ и $\text{D}$. Докажите, что $CO = OD$.

15.14. Рассмотрим треугольники $△AOC$ и $△BOD$.

По условию задачи, точка $A$ лежит на прямой $a$, точка $B$ — на прямой $b$, и прямые $a$ и $b$ параллельны ($a \parallel b$). Точка $O$ является серединой отрезка $AB$, следовательно, $AO = OB$.

Углы $\angle AOC$ и $\angle BOD$ являются вертикальными, поэтому они равны: $\angle AOC = \angle BOD$.

Прямая $AB$ является секущей для параллельных прямых $a$ и $b$. Следовательно, накрест лежащие углы $\angle OAC$ (или $\angle CAB$) и $\angle OBD$ (или $\angle DBA$) равны: $\angle OAC = \angle OBD$.

Таким образом, мы имеем две пары равных углов и равную сторону между вершинами этих углов в каждом треугольнике:

• $AO = OB$ (по условию)
• $\angle OAC = \angle OBD$ (как накрест лежащие углы)
• $\angle AOC = \angle BOD$ (как вертикальные углы)

Сторона $AO$ в треугольнике $AOC$ соединяет вершины, в которых находятся углы $\angle OAC$ и $\angle AOC$. Аналогично, сторона $BO$ в треугольнике $BOD$ соединяет вершины, в которых находятся углы $\angle OBD$ и $\angle BOD$.

Следовательно, треугольники $△AOC$ и $△BOD$ равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам, ASA).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. В равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны. Сторона $CO$ лежит против угла $\angle OAC$, а сторона $OD$ лежит против равного ему угла $\angle OBD$. Значит, $CO = OD$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $CO = OD$ доказано, так как треугольники $△AOC$ и $△BOD$ равны по стороне и двум прилежащим к ней углам.