Номер 15.1, страница 89 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

15.1. При пересечении двух прямых третьей образуется 8 углов. Сколько из них может оказаться тупыми?

15.1. При пересечении двух прямых, назовем их a и b, третьей прямой (секущей) c, образуется 8 углов. Эти углы возникают в двух точках пересечения: в точке пересечения a и c, и в точке пересечения b и c. В каждой такой точке образуется по 4 угла.

Проанализируем, какие углы могут быть в одной точке пересечения двух прямых. В этой точке образуются две пары равных вертикальных углов, а сумма смежных углов составляет $180^\circ$. Из этого следует, что возможны только два варианта: 1. Все четыре угла являются прямыми (по $90^\circ$). В этом случае тупых углов (углов больше $90^\circ$) нет. 2. Два угла — острые (меньше $90^\circ$), а два других — тупые (больше $90^\circ$). Таким образом, в каждой из двух точек пересечения может быть либо 0, либо 2 тупых угла.

Теперь рассмотрим все возможные комбинации, чтобы определить общее количество тупых углов.

Случай 1: 0 тупых углов.

Это возможно, если в обеих точках пересечения нет тупых углов (по 0 в каждой). Это означает, что в обеих точках все углы прямые. Такое происходит, когда секущая c перпендикулярна и прямой a, и прямой b. Если прямая перпендикулярна двум другим прямым на плоскости, то эти две прямые параллельны. Итак, если прямые a и b параллельны, а секущая c им перпендикулярна, все 8 углов будут прямыми, и количество тупых углов равно 0.

Случай 2: 2 тупых угла.

Это возможно, если в одной точке пересечения 2 тупых угла, а в другой — 0. Ситуация с 0 тупых углов означает, что секущая перпендикулярна одной из прямых (например, c ⊥ a). Ситуация с 2 тупыми углами означает, что секущая не перпендикулярна другой прямой (c не ⊥ b). Такое возможно, только если прямые a и b не параллельны. Таким образом, если a и b пересекаются, а секущая c перпендикулярна a, но не b, то в одной точке пересечения будет 0 тупых углов, а в другой — 2. Общее количество тупых углов составит $0 + 2 = 2$.

Случай 3: 4 тупых угла.

Это возможно, если в каждой из двух точек пересечения образуется по 2 тупых угла. Этот случай реализуется в двух основных вариантах:

- Прямые a и b параллельны (a || b), а секущая c не перпендикулярна им. Тогда в каждой точке пересечения будет по 2 тупых угла. Итого: $2 + 2 = 4$.

- Прямые a и b пересекаются, и секущая c не перпендикулярна ни одной из них. В этом случае в каждой из двух точек пересечения также будет по 2 тупых угла. Итого: $2 + 2 = 4$.

Таким образом, проанализировав все возможные геометрические расположения прямых, мы видим, что количество тупых углов из восьми образовавшихся может быть 0, 2 или 4.

Ответ: 0, 2 или 4.