Номер 14.12, страница 86 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

14.12. Докажите, что из двух наклонных, проведенных из данной точки к данной прямой, больше та, проекция которой больше (рис. 14.7).

Рис. 14.7

Пусть из точки А к некоторой прямой проведены перпендикуляр AB и две наклонные AC и AD (согласно рис. 14.7). Отрезки BC и BD являются проекциями наклонных AC и AD на эту прямую. Нам нужно доказать, что если проекция одной наклонной больше проекции другой, то и сама наклонная больше. Без ограничения общности, предположим, что проекция BC больше проекции BD, то есть $BC > BD$. Докажем, что в этом случае наклонная $AC$ больше наклонной $AD$.

Рассмотрим два прямоугольных треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle ABD$. Они являются прямоугольными, поскольку отрезок AB перпендикулярен прямой, на которой лежат точки B, C и D, а значит $\angle ABC = 90^\circ$ и $\angle ABD = 90^\circ$.

Применим к этим треугольникам теорему Пифагора, чтобы выразить квадраты длин наклонных, которые являются гипотенузами в этих треугольниках:

Из $\triangle ABC$ имеем: $AC^2 = AB^2 + BC^2$.

Из $\triangle ABD$ имеем: $AD^2 = AB^2 + BD^2$.

По нашему предположению, $BC > BD$. Поскольку длины отрезков являются положительными числами, то при возведении в квадрат неравенство сохраняется: $BC^2 > BD^2$.

Сравним выражения для $AC^2$ и $AD^2$. Так как $AB^2$ — это общее слагаемое в обоих выражениях, а второе слагаемое $BC^2$ больше второго слагаемого $BD^2$, мы можем заключить, что:

$AB^2 + BC^2 > AB^2 + BD^2$

Подставив в это неравенство выражения для квадратов гипотенуз, которые мы получили из теоремы Пифагора, получаем:

$AC^2 > AD^2$

Поскольку длины наклонных $AC$ и $AD$ — это положительные величины, мы можем извлечь квадратный корень из обеих частей неравенства, сохранив его знак:

$AC > AD$

Таким образом, мы доказали, что из двух наклонных, проведенных из данной точки к данной прямой, больше та, проекция которой больше. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.