Номер 14.10, страница 86 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

14.10. Докажите, что две равные наклонные, проведенные из данной точки к данной прямой, имеют равные проекции (рис. 14.6).

Рис. 14.6

Пусть из точки $A$ к данной прямой проведены перпендикуляр $AB$ и две равные наклонные $AC$ и $AD$. Согласно условию, $AC = AD$. Отрезки $BC$ и $BD$ являются проекциями наклонных $AC$ и $AD$ на данную прямую. Необходимо доказать, что проекции равны, то есть $BC = BD$.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle ABD$.

Поскольку отрезок $AB$ является перпендикуляром к прямой, на которой лежат точки $C$ и $D$, то углы $\angle ABC$ и $\angle ABD$ являются прямыми: $\angle ABC = \angle ABD = 90^\circ$. Таким образом, треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle ABD$ являются прямоугольными.

Сравним эти два прямоугольных треугольника:

1. Гипотенуза $AC$ равна гипотенузе $AD$ по условию задачи ($AC = AD$).

2. Катет $AB$ является общей стороной для обоих треугольников.

Следовательно, прямоугольный треугольник $\triangle ABC$ равен прямоугольному треугольнику $\triangle ABD$ по признаку равенства прямоугольных треугольников (по гипотенузе и катету).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. В данном случае, катет $BC$ треугольника $\triangle ABC$ соответствует катету $BD$ треугольника $\triangle ABD$. Отсюда следует, что $BC = BD$.

Таким образом, мы доказали, что две равные наклонные, проведенные из данной точки к данной прямой, имеют равные проекции.

Ответ: Что и требовалось доказать.