Задания, страница 88 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

Следствие 2. Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то внутренние односторонние углы составляют в сумме $180^\circ$.

Самостоятельно обоснуйте вывод этого следствия.

Для обоснования вывода этого следствия необходимо доказать, что сумма внутренних односторонних углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей, равна 180°.

Дано:

Пусть даны две параллельные прямые a и b ($a \parallel b$), которые пересечены третьей прямой (секущей) c. Углы $∠1$ и $∠2$ являются внутренними односторонними углами, образованными при этом пересечении.

Доказать:

Сумма углов $∠1$ и $∠2$ равна 180°, то есть $∠1 + ∠2 = 180°$.

Обоснование:

Рассмотрим угол $∠3$, который является смежным с углом $∠1$. Эти углы имеют общую вершину, общую сторону, а две другие их стороны образуют прямую (в данном случае, прямую a). По свойству смежных углов их сумма равна 180°.

$∠1 + ∠3 = 180°$.

Теперь рассмотрим углы $∠3$ и $∠2$. Эти углы являются внутренними накрест лежащими углами, образованными при пересечении параллельных прямых a и b секущей c.

Согласно основной теореме о параллельных прямых, если две параллельные прямые пересечены секущей, то внутренние накрест лежащие углы равны.

Следовательно, $∠3 = ∠2$.

Выполним подстановку в первое равенство ($∠1 + ∠3 = 180°$): заменим угол $∠3$ на равный ему угол $∠2$.

Получим: $∠1 + ∠2 = 180°$.

Таким образом, утверждение доказано: сумма внутренних односторонних углов при пересечении параллельных прямых секущей всегда равна 180°.

Ответ: Обоснование строится на двух ключевых свойствах углов. Во-первых, используется свойство смежных углов: угол, смежный с одним из внутренних односторонних углов (пусть это будет $∠1$), дополняет его до $180°$. Обозначим этот смежный угол как $∠3$, тогда $∠1 + ∠3 = 180°$. Во-вторых, используется свойство внутренних накрест лежащих углов при параллельных прямых: угол $∠3$ оказывается накрест лежащим для второго внутреннего одностороннего угла ($∠2$), и так как прямые параллельны, то $∠3 = ∠2$. Путем подстановки $∠2$ вместо $∠3$ в первое равенство мы получаем требуемое: $∠1 + ∠2 = 180°$.